Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugate) de
A = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Para isso usamos a definição: a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofactores de A. Em cada entrada (i,j) da matriz de cofactores calculamos primeiro o menor M_{ij} e depois o cofator
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}).]

Passo 2

Vamos achar os quatro cofactores de A.
  • Para (i,j)=(1,1): o menor é
M_{11}=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad\det(M_{11})=3,
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C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot3=3.
  • Para (i,j)=(1,2): o menor é
M_{12}=\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad\det(M_{12})=-1,
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C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-1) = -\,(-1)=1.
  • Para (i,j)=(2,1): o menor é
M_{21}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad\det(M_{21})=0,
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C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot0 = -0 = 0.
  • Para (i,j)=(2,2): o menor é
M_{22}=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad\det(M_{22})=2,
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C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot2 =2.
Assim a matriz de cofactores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12}\\[3pt] C_{21} & C_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1\\[3pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Transpondo essa matriz de cofactores, obtemos a matriz adjunta de A:
\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 0\\[3pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Resposta

\mathrm{adj}\!\bigl(\begin{pmatrix}2 & 0\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

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