Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz adjunta (adjugate) da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
Para isso, vamos usar a definição de matriz adjunta como a transposta da matriz de cofatores.

Passo 2

Calculamos os menores M_{ij} de A. São:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}4\end{pmatrix} = 4,\quad M_{12} = \det\begin{pmatrix}3\end{pmatrix} = 3,
M_{21} = \det\begin{pmatrix}2\end{pmatrix} = 2,\quad M_{22} = \det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = 1.

Passo 3

Obtemos a matriz de cofatores C com C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}. Logo,
C = \begin{pmatrix} (+1)\cdot4 & (-1)\cdot3 \\\ (-1)\cdot2 & (+1)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\\\ -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C. Assim,
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\\\ -3 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{adj}\bigl(\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}4 & -2 \\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.

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