Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugate) de uma matriz A de ordem 3, definida por
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve a definição de menor, cofator e transposição para montar \operatorname{adj}(A).

Passo 2

A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A. Para cada entrada a_{ij} de A:
  1. Definimos o menor M_{ij} como o determinante da submatriz de A obtida ao eliminar a linha i e a coluna j.
  2. O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  1. Por fim,
\operatorname{adj}(A) = \bigl(C_{ij}\bigr)^{T}.

Passo 3

Calcular os cofatores C_{ij}:
\begin{aligned} C_{11}&=(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}3&1\\\ 2&4\end{pmatrix} =+ (3\cdot4-1\cdot2)=10,\\\ C_{12}&=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&4\end{pmatrix} =-(-1\cdot4-1\cdot0)=+4,\\\ C_{13}&=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 0&2\end{pmatrix} =+(-1\cdot2-3\cdot0)=-2,\\\ C_{21}&=(-1)^{2+1}\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&4\end{pmatrix} =- (0\cdot4-2\cdot2)=+4,\\\ C_{22}&=(-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&4\end{pmatrix} =+ (1\cdot4-2\cdot0)=4,\\\ C_{23}&=(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} =- (1\cdot2-0\cdot0)=-2,\\\ C_{31}&=(-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 3&1\end{pmatrix} =+ (0\cdot1-2\cdot3)=-6,\\\ C_{32}&=(-1)^{3+2}\det\begin{pmatrix}1&2\\\ -1&1\end{pmatrix} =- (1\cdot1-2\cdot(-1))=-3,\\\ C_{33}&=(-1)^{3+3}\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&3\end{pmatrix} =+ (1\cdot3-0\cdot(-1))=3. \end{aligned}

Passo 4

Montar a matriz dos cofatores C:
C = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -2\\\\ 4 & 4 & -2\\\\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Transpor C para obter a adjunta de A:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -6\\\\ 4 & 4 & -3\\\\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}\!\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -6\\\\ 4 & 4 & -3\\\\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.

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