Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (também chamada de adjugata) de
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}.
Para isso vamos usar o método de cofactores: calcular todos os menores M_{ij}, formar os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e, por fim, transpor essa matriz de cofatores.

Passo 2

Definição: a matriz adjunta de A é
\mathrm{adj}(A) \;=\; C^{T},
onde C=(C_{ij}) é a matriz de cofatores de A, e
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
com M_{ij} sendo o menor obtido ao remover a linha i e a coluna j de A.

Passo 3

Calculamos agora todos os menores M_{ij} e os respectivos cofatores C_{ij}:
Row 1: M_{11} = \det\!\begin{pmatrix}3&4\\\ 6&7\end{pmatrix}=3\cdot7-4\cdot6=-3,\;C_{11}=(-1)^{1+1}(-3)=-3; M_{12} = \det\!\begin{pmatrix}0&4\\\ 5&7\end{pmatrix}=0\cdot7-4\cdot5=-20,\;C_{12}=(-1)^{1+2}(-20)=20; M_{13} = \det\!\begin{pmatrix}0&3\\\ 5&6\end{pmatrix}=0\cdot6-3\cdot5=-15,\;C_{13}=(-1)^{1+3}(-15)=-15. Row 2: M_{21} = \det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 6&7\end{pmatrix}=1\cdot7-0\cdot6=7,\;C_{21}=(-1)^{2+1}(7)=-7; M_{22} = \det\!\begin{pmatrix}2&0\\\ 5&7\end{pmatrix}=2\cdot7-0\cdot5=14,\;C_{22}=(-1)^{2+2}(14)=14; M_{23} = \det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 5&6\end{pmatrix}=2\cdot6-1\cdot5=7,\;C_{23}=(-1)^{2+3}(7)=-7. Row 3: M_{31} = \det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&4\end{pmatrix}=1\cdot4-0\cdot3=4,\;C_{31}=(-1)^{3+1}(4)=4; M_{32} = \det\!\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&4\end{pmatrix}=2\cdot4-0\cdot0=8,\;C_{32}=(-1)^{3+2}(8)=-8; M_{33} = \det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot0=6,\;C_{33}=(-1)^{3+3}(6)=6.

Passo 4

A matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 20 & -15\\\\ -7 & 14 & -7\\\\ 4 & -8 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 5

Transpondo C obtemos a adjunta de A:
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -3 & -7 & 4\\\\ 20 & 14 & -8\\\\ -15 & -7 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & -7 & 4\\\\ 20 & 14 & -8\\\\ -15 & -7 & 6 \end{pmatrix}.

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