Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} nos seguintes casos:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x-2 y, x+y), onde \mathcal{B} é a base de canônica de \mathbb{R}^{2} e \mathcal{B}^{\prime}={(1,2),(1,-2)}.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y)=(x-2y,\;x+y),
a base de partida é \mathcal{B}'=\{v_{1}=(1,2),\,v_{2}=(1,-2)\} e a base de chegada é a base canônica \mathcal{B}=\{e_{1},e_{2}\}. Para encontrar [T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}, calculamos T(v_{1}) e T(v_{2}) e expressamos esses resultados em coordenadas de \mathcal{B}.

Passo 2

Calculamos
T(v_{1})=T(1,2)=(1-2\cdot2,\;1+2)=(-3,\;3).

Passo 3

Calculamos
T(v_{2})=T(1,-2)=(1-2\cdot(-2),\;1+(-2))=(5,\;-1).

Passo 4

Como \mathcal{B} é a base canônica, as coordenadas de (a,b) são simplesmente \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}. Logo as colunas da matriz de T são \begin{pmatrix}-3\\\ 3\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}5\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -3 & 5\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.

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