Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} nos seguintes casos:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x, y), onde \mathcal{B} e \mathcal{B}^{\prime} são as bases de canônicas de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, dada por
T(x,y,z)=(x,y),
nas bases canônicas \mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3}) de \mathbb{R}^{3} e \mathcal{B}'=(e'_{1},e'_{2}) de \mathbb{R}^{2}. Para isso, vamos calcular T(e_{1}), T(e_{2}) e T(e_{3}) e expressá-los em \mathcal{B}'.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base de \mathbb{R}^{3}:
T(e_{1}) = T(1,0,0) = (1,0) = 1\,e'_{1} + 0\,e'_{2},
T(e_{2}) = T(0,1,0) = (0,1) = 0\,e'_{1} + 1\,e'_{2},
T(e_{3}) = T(0,0,1) = (0,0) = 0\,e'_{1} + 0\,e'_{2}.

Passo 3

Formar a matriz [T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} cujas colunas são as coordenadas de T(e_{1}), T(e_{2}) e T(e_{3}) em \mathcal{B}':
[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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