Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} nos seguintes casos:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(-x+5 y, 2 x+y, 4 y), onde \mathcal{B} e \mathcal{B}^{\prime} são as bases de canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y)=(-x+5y,\;2x+y,\;4y),
e pede a matriz de T relativa às bases canônicas \mathcal{B}=\{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2 e \mathcal{B}'=\{e_1',e_2',e_3'\} de \mathbb{R}^3.
Sabemos que, nas bases canônicas, a coluna j de [T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} é T(e_j) expressa nas coordenadas de \mathcal{B}'.

Passo 2

Identificamos os vetores da base canônica de \mathbb{R}^2:
e_1 = (1,0),\qquad e_2 = (0,1).

Passo 3

Calculamos T(e_1):
T(1,0)=(-1+5\cdot0,\;2\cdot1+0,\;4\cdot0)=(-1,2,0).

Passo 4

Calculamos T(e_2):
T(0,1)=(-0+5\cdot1,\;2\cdot0+1,\;4\cdot1)=(5,1,4).

Passo 5

Montamos a matriz cujas colunas são T(e_1) e T(e_2), nesta ordem:

Resposta

[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -1 & 5\\\\ 2 & 1\\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados