Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}} nos seguintes casos:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(-x+5 y, 2 x+y, 4 y), agora com \mathcal{B}={(1,1),(2,-3)} e \mathcal{B}^{\prime}={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear \displaystyle T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
T(x,y)=(-x+5y,\;2x+y,\;4y)
e pede a matriz de T relativa à base do domínio \mathcal{B}=\{v_1=(1,1),\,v_2=(2,-3)\} e à base do contradomínio \mathcal{B}'=\{u_1=(1,1,1),\,u_2=(1,1,0),\,u_3=(1,0,0)\}.
O objetivo é calcular as coordenadas de T(v_1) e T(v_2) em \mathcal{B}' e montar a matriz [T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}.

Passo 2

Calcular as imagens de v_1 e v_2 no sistema canônico de \mathbb{R}^3:
T(v_1)=T(1,1)=(-1+5\cdot1,\;2\cdot1+1,\;4\cdot1)=(4,3,4),
T(v_2)=T(2,-3)=(-2+5\cdot(-3),\;2\cdot2+(-3),\;4\cdot(-3))=(-17,1,-12).

Passo 3

Para expressar um vetor genérico (x,y,z) na base \mathcal{B}'=\{u_1,u_2,u_3\} com
u_1=(1,1,1),\quad u_2=(1,1,0),\quad u_3=(1,0,0),
procuramos escalares a,b,c tais que
a\,u_1+b\,u_2+c\,u_3 = (a+b+c,\;a+b,\;a) \;=\;(x,y,z).
Igualando coordenadas obtemos o sistema
a = z,\quad a+b = y,\quad a+b+c = x
cuja solução é
a = z,\quad b = y - z,\quad c = x - y.

Passo 4

Aplicando aos vetores obtidos:
Para T(v_1)=(4,3,4) temos
a_1=4,\quad b_1=3-4=-1,\quad c_1=4-3=1.
Para T(v_2)=(-17,1,-12) temos
a_2=-12,\quad b_2=1-(-12)=13,\quad c_2=-17-1=-18.

Passo 5

As colunas da matriz [T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} são \bigl[a_j,b_j,c_j\bigr]^T. Logo
[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 4 & -12\\\\ -1 & 13\\\\ 1 & -18 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 4 & -12\\\\ -1 & 13\\\\ 1 & -18 \end{pmatrix}.

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