Determine a matriz X_{3 \times 3}, tal que A X=B, sendo
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 3 & -2 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ -2 & 1 & -2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right]
OBS. A obtenção da matriz X é análoga à obtenção da matriz inversa A^{-1}, determinada por A A^{-1}=I, com a matriz identidade I substituída por B e X obtida no lugar de A^{-1}. Alternativamente, se A^{-1} puder ser obtida, a equação A X=B implicará em X=A^{-1} B.

Passo 1

O enunciado pede a matriz X de ordem 3\times3 que satisfaz
A\,X = B,
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2\\\\ 4 & -1 & 3\\\\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como A é invertível (detalharemos isso), podemos usar
X = A^{-1}B.

Passo 2

Calcular o determinante de A.
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 1&-2\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -2&-2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}4&-1\\\ -2&1\end{pmatrix}.
Compute cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 1&-2\end{pmatrix} =(-1)(-2)-3\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -2&-2\end{pmatrix} =4(-2)-3(-2)=-2,
\det\begin{pmatrix}4&-1\\\ -2&1\end{pmatrix} =4\cdot1-(-1)(-2)=2.
Logo
\det(A)=1\cdot(-1)-3\cdot(-2)-2\cdot2=-1+6-4=1.

Passo 3

Como \det(A)=1, temos A^{-1}=\operatorname{adj}(A). Vamos computar a matriz dos cofatores e depois transpor.
Os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} dão, linha a linha,
C=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\[6pt] 4 & -6 & -7\\[6pt] 7 & -11 & -13 \end{pmatrix},
onde cada entrada foi obtida eliminando a linha i e coluna j de A. A adjunta (matriz transposta de C) é
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7\\\\ 2 & -6 & -11\\\\ 2 & -7 & -13 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Assim,
A^{-1} = \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7\\\\ 2 & -6 & -11\\\\ 2 & -7 & -13 \end{pmatrix}.
Agora calculamos
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 7\\\\ 2 & -6 & -11\\\\ 2 & -7 & -13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Fazendo a multiplicação linha–coluna, obtemos
X = \begin{pmatrix} -5 & 8 & -3\\\\ 8 & -13 & 5\\\\ 9 & -15 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

X = \begin{pmatrix} -5 & 8 & -3\\\\ 8 & -13 & 5\\\\ 9 & -15 & 6 \end{pmatrix}.

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