(a) Calcule a inversa da matriz A=\left[\begin{array}{rrr}-5 & 1 & 3 \\\\ 3 & -1 & -2 \\\\ -2 & 3 & 2\end{array}\right].
(b) Usando essa inversa, determine a solução do sistema \left\{\begin{array}{l}-5 x+y+3 z=-1 \\\\ 3 x-y-2 z=0 \\\\ -2 x+3 y+2 z=1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 3\\\\ 3 & -1 & -2\\\\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Usar essa inversa para resolver o sistema linear A\,(x,y,z)^T = (-1,0,1)^T.
    O conteúdo envolvido é Álgebra Linear: deteminante, matriz de cofatores, adjunta e a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A),
e, em seguida, (x,y,z)^T = A^{-1}b.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = (-5)\det\!\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ 3 & 2\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}3 & -2\\\ -2 & 2\end{pmatrix} +3\det\!\begin{pmatrix}3 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\!\begin{pmatrix}-1 & -2\\\ 3 & 2\end{pmatrix}=4, \quad \det\!\begin{pmatrix}3 & -2\\\ -2 & 2\end{pmatrix}=2, \quad \det\!\begin{pmatrix}3 & -1\\\ -2 & 3\end{pmatrix}=7.
Logo
\det(A)=(-5)\cdot4 -1\cdot2 +3\cdot7 = -20 -2 +21 = -1.
Como \det(A)\neq0, A é invertível.

Passo 3

Agora calculamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}) de A, onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
com M_{ij} o menor de A retirando linha i e coluna j.
O resultado é
C = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 7\\\\ 7 & -4 & 13\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 1\\\\ -2 & -4 & -1\\\\ 7 & 13 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usando \det(A)=-1, a inversa fica
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -1 \cdot \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -7 & -1\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ -7 & -13 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para resolver A(x,y,z)^T = (-1,0,1)^T, fazemos
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -7 & -1\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ -7 & -13 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente:
x = (-4)(-1)+(-7)\cdot0+(-1)\cdot1=4-1=3,
y = 2\cdot(-1)+4\cdot0+1\cdot1=-2+1=-1,
z = (-7)(-1)+(-13)\cdot0+(-2)\cdot1=7-2=5.

Resposta

(a)
A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & -7 & -1\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ -7 & -13 & -2 \end{pmatrix}.
(b) (x,y,z) = (3,\,-1,\,5).

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