Determine as matrizes canônicas de T=T_{1} \circ T_{2} e T^{\prime}=T_{2} \circ T_{1}
T_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T_{1}(x, y)=(x, x+y, y) e \quad T_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T_{2}(x, y, z)=(0, y)

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares e pede as matrizes canônicas (na base canônica padrão) de T=T_{1}\circ T_{2} e de T'=T_{2}\circ T_{1}.
Informações fornecidas:
  • T_{1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} com \,T_{1}(x,y)=(x,\;x+y,\;y)\,.
  • T_{2}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com \,T_{2}(x,y,z)=(0,\;y)\,.
O que precisa ser encontrado:
  • A matriz (na base canônica) de T=T_{1}\circ T_{2}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}.
  • A matriz (na base canônica) de T'=T_{2}\circ T_{1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Lembrando a regra prática para obter a matriz de uma transformação linear na base canônica: a coluna j da matriz é a imagem do j-ésimo vetor da base canônica (colocado como vetor coluna).
Ou seja, para uma aplicação S com domínio \mathbb{R}^{n} e base canônica \{e_1,\dots,e_n\}, a matriz de S tem colunas S(e_1),\dots,S(e_n) expressos nas coordenadas canônicas.
Vou aplicar isso primeiro para achar as matrizes de T_{1} e T_{2} nas bases canônicas; depois uso que a matriz da composição corresponde ao produto das matrizes (ordem respeitando o encadeamento das aplicações).

Passo 3

Matriz de T_{1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}.
Base canônica de \mathbb{R}^{2}: e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1).
Calcular as imagens:
  • T_{1}(e_{1})=T_{1}(1,0)=(1,\;1+0,\;0)=(1,1,0).
  • T_{1}(e_{2})=T_{1}(0,1)=(0,\;0+1,\;1)=(0,1,1).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de T_{1} (matriz A de tamanho 3\times2) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz de T_{2}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}.
Base canônica de \mathbb{R}^{3}: e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1).
Calcular as imagens:
  • T_{2}(e_{1})=T_{2}(1,0,0)=(0,\;0)=(0,0).
  • T_{2}(e_{2})=T_{2}(0,1,0)=(0,\;1)=(0,1).
  • T_{2}(e_{3})=T_{2}(0,0,1)=(0,\;0)=(0,0).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de T_{2} (matriz B de tamanho 2\times3) é
B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Regra para composições: se A é a matriz de T_{1} (do tipo 3\times2) e B é a matriz de T_{2} (do tipo 2\times3), então a matriz da composição T_{1}\circ T_{2} é A\!B (produto 3\times2 vezes 2\times3 resultando em 3\times3).
Analogamente, a matriz de T_{2}\circ T_{1} é B\!A (produto 2\times3 vezes 3\times2 resultando em 2\times2).
Vou calcular ambos os produtos explicitamente, mostrando como obter cada entrada.

Passo 6

Calcular A B (matriz de T=T_{1}\circ T_{2}).
Recordando A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix}.
Multiplicação por linhas: a linha i de AB é a combinação linear das linhas de B com coeficientes dados pela linha i de A.
  • Linha 1 de A é (1,0). Então linha 1 de AB = 1\cdot (linha 1 de B) +\;0\cdot (linha 2 de B) = (0,0,0).
  • Linha 2 de A é (1,1). Então linha 2 de AB = 1\cdot (linha 1 de B) +\;1\cdot (linha 2 de B) = (0,0,0)+(0,1,0)=(0,1,0).
  • Linha 3 de A é (0,1). Então linha 3 de AB = 0\cdot (linha 1 de B) +\;1\cdot (linha 2 de B) = (0,1,0).
Portanto
A B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular B A (matriz de T'=T_{2}\circ T_{1}).
Recordando B=\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix} e A=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Multiplicamos 2\times3 por 3\times2 para obter uma 2\times2.
Calcule entrada a entrada (produto linha por coluna):
  • Entrada (1,1): linha 1 de B (0,0,0) dot coluna 1 de A (1,1,0) 0.
  • Entrada (1,2): linha 1 de B (0,0,0) dot coluna 2 de A (0,1,1) 0.
  • Entrada (2,1): linha 2 de B (0,1,0) dot coluna 1 de A (1,1,0) 0\cdot1+1\cdot1+0\cdot0=1.
  • Entrada (2,2): linha 2 de B (0,1,0) dot coluna 2 de A (0,1,1) 0\cdot0+1\cdot1+0\cdot1=1.
Portanto
B A=\begin{pmatrix} 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle T=T_{1}\circ T_{2}:\; \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}
\displaystyle T'=T_{2}\circ T_{1}:\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}]

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