Determine os máximos e mínimos das funções:
, no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
.
O objetivo prático: encontrar os pontos em
onde
atinge valores máximos e mínimos (tanto locais quanto os extremos absolutos no intervalo).
Passo 2
Estratégia básica que usaremos (aqui só explico os conceitos; não resolvo ainda):
- Para encontrar extremos de uma função suave numa intervalo fechado, primeiro encontramos os pontos críticos no interior do intervalo: pontos onde a derivada é zero ou não está definida. Depois avaliamos a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo; o maior desses valores é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.
- Para classificar um ponto crítico como máximo local ou mínimo local podemos usar o teste da segunda derivada: se
temos máximo local em ; se temos mínimo local; se o teste é inconclusivo.
Agora vou calcular a derivada de
passo a passo, usando regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é . - Aqui
, então .
Logo a derivada deé
Passo 3
Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo: resolvemos
em
.
Temos
Os zeros do cosseno ocorrem quando
Dividindo por
,
Agora listamos os valores de
dessa forma que pertencem ao intervalo
:
- Para
: (está em ). - Para
: (está em ). - Para
: (fora do intervalo). - Para
: (fora do intervalo).
Portanto os pontos críticos no intervalo são
Também precisamos considerar as extremidades
e
ao buscar extremos absolutos.
Passo 4
Vamos classificar os pontos críticos usando a segunda derivada. Primeiro calcule a segunda derivada:
- Sabendo
, derivando novamente:
Agora avaliamos
nos pontos críticos.
Para
:
logo
Como
, por o teste da segunda derivada concluímos que
é um ponto de máximo local.
Para
:
logo
Como
,
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Agora avaliamos
nos pontos críticos e nas extremidades para compararmos os valores (lembrando que
).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resumo dos valores:
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
- O maior valor dentre esses é
, obtido em . Como é contínua e avaliamos todos os candidatos (críticos e extremidades), este é o máximo absoluto no intervalo . Também já havíamos verificado que é máximo local pelo teste da segunda derivada. - O menor valor é
, obtido em . Esse é o mínimo absoluto no intervalo e também mínimo local.
Observação: os valores
em
e
não são extremos absolutos porque existem pontos no intervalo com valores maiores e menores.
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto:
em