Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=\sin (2 x), no intervalo [0, \pi]

Passo 1

O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos da função f(x)=\sin(2x) no intervalo [0,\pi].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sin(2x).
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,\pi].
O objetivo prático: encontrar os pontos em [0,\pi] onde f atinge valores máximos e mínimos (tanto locais quanto os extremos absolutos no intervalo).

Passo 2

Estratégia básica que usaremos (aqui só explico os conceitos; não resolvo ainda):
  • Para encontrar extremos de uma função suave numa intervalo fechado, primeiro encontramos os pontos críticos no interior do intervalo: pontos onde a derivada é zero ou não está definida. Depois avaliamos a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo; o maior desses valores é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.
  • Para classificar um ponto crítico como máximo local ou mínimo local podemos usar o teste da segunda derivada: se f''(x_0)<0 temos máximo local em x_0; se f''(x_0)>0 temos mínimo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
Agora vou calcular a derivada de f passo a passo, usando regra da cadeia:
  • A derivada de \sin(u) em relação a x é \cos(u)\cdot u'.
  • Aqui u=2x, então u'=2.
    Logo a derivada de f é
f'(x)=2\cos(2x).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos no interior do intervalo: resolvemos f'(x)=0 em [0,\pi].
Temos
2\cos(2x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(2x)=0.
Os zeros do cosseno ocorrem quando
2x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2,
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora listamos os valores de x dessa forma que pertencem ao intervalo [0,\pi]:
  • Para k=0: x=\dfrac{\pi}{4} (está em [0,\pi]).
  • Para k=1: x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4} (está em [0,\pi]).
  • Para k=2: x=\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4}>\pi (fora do intervalo).
  • Para k=-1: x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{4}<0 (fora do intervalo).
Portanto os pontos críticos no intervalo são
x=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad x=\frac{3\pi}{4}.
Também precisamos considerar as extremidades x=0 e x=\pi ao buscar extremos absolutos.

Passo 4

Vamos classificar os pontos críticos usando a segunda derivada. Primeiro calcule a segunda derivada:
  • Sabendo f'(x)=2\cos(2x), derivando novamente:
f''(x) = 2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x).
Agora avaliamos f'' nos pontos críticos.
Para x=\dfrac{\pi}{4}:
\sin\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
logo
f''\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -4\cdot 1 = -4 < 0.
Como f''<0, por o teste da segunda derivada concluímos que x=\dfrac{\pi}{4} é um ponto de máximo local.
Para x=\dfrac{3\pi}{4}:
\sin\bigl(2\cdot \tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -1,
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f''\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -4\cdot(-1) = 4 > 0.
Como f''>0, x=\dfrac{3\pi}{4} é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Agora avaliamos f nos pontos críticos e nas extremidades para compararmos os valores (lembrando que f(x)=\sin(2x)).
  • Em x=0:
f(0)=\sin(2\cdot 0)=\sin(0)=0.
  • Em x=\dfrac{\pi}{4}:
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
  • Em x=\dfrac{3\pi}{4}:
f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(2\cdot \tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1.
  • Em x=\pi:
f(\pi)=\sin(2\pi)=0.
Resumo dos valores:
  • f(0)=0
  • f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1
  • f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-1
  • f(\pi)=0

Passo 6

Comparando os valores obtidos:
  • O maior valor dentre esses é 1, obtido em x=\dfrac{\pi}{4}. Como f é contínua e avaliamos todos os candidatos (críticos e extremidades), este é o máximo absoluto no intervalo [0,\pi]. Também já havíamos verificado que é máximo local pelo teste da segunda derivada.
  • O menor valor é -1, obtido em x=\dfrac{3\pi}{4}. Esse é o mínimo absoluto no intervalo [0,\pi] e também mínimo local.
Observação: os valores 0 em x=0 e x=\pi não são extremos absolutos porque existem pontos no intervalo com valores maiores e menores.

Resposta

Máximo absoluto: \,f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1 em x=\dfrac{\pi}{4}
Mínimo absoluto: \,f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-1 em x=\dfrac{3\pi}{4}

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