Determine a medida do volume do sólido obtido pela rotação da área limitada pelas curvas dadas em torno das retas específicas:
em torno do eixo
Na questão 3 você deve escolher apenas duas questões entre as questões a, b, c e d.
Passo 1
O enunciado dá as curvas
e
e pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por essas curvas em torno do eixo
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Curvas bounding:
e . - Eixo de rotação: eixo
(ou seja, a reta ). - O que se pede: volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por essas curvas em torno do eixo
.\n
Observação importante (que será usada na resolução): para montar a integral precisamos saber em quais valores deas duas curvas se intersectam (os limites de integração).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre
e
. Para isso resolvemos
Fatorando:
logo as interseções são
Portanto a região está entre
e
.
Passo 3
Escolher o método para calcular o volume e explicar a fórmula usada.\n
Método (disco / fatia perpendicular ao eixo ): para rotação em torno do eixo
, o volume pode ser obtido integrando a área de seções transversais perpendiculares ao eixo
. A fórmula geral é
Método (disco / fatia perpendicular ao eixo
onde
é a área da seção transversal em
. Quando a seção é um disco de raio
,
Se houver um “furo” (anel), a área é
. Aqui a região está entre a curva
e o eixo
(reta
), e o eixo
é a fronteira superior da região. Para um
fixo em
temos que
, então a distância da curva ao eixo é positiva dada por
Essa distância será o raio do disco gerado pela rotação. Não há buraco interno porque a fronteira superior é o próprio eixo de rotação.
Passo 4
Montar a integral do volume usando o raio encontrado. Para
o raio é
. Assim
Passo 5
Expandir o integrando para facilitar a integração. Primeiro escrevemos
Expandindo explicitamente:
Portanto a integral vira
Passo 6
Calcular a primitiva termo a termo. As antiderivadas são:
Logo uma primitiva do integrando é
Passo 7
Avaliar a primitiva entre os limites
e
. Primeiro avaliando em
:
Calculemos cada termo:
Somando os três termos:
Colocando em denominador comum
:
Somando:
Como
, o valor da integral é
. Multiplicando por
obtemos o volume.
Passo 8
Resultado final do cálculo:
Como valor aproximado (apenas para intuição),
, mas a resposta exata é melhor mantê-la em termos de
.