Determine a medida do volume do sólido obtido pela rotação da área limitada pelas curvas dadas em torno das retas específicas:
y=x^{2}-5 x, y=0 em torno do eixo x
Na questão 3 você deve escolher apenas duas questões entre as questões a, b, c e d.

Passo 1

O enunciado dá as curvas y=x^{2}-5x e y=0 e pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por essas curvas em torno do eixo x.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Curvas bounding: y=x^{2}-5x e y=0.
  • Eixo de rotação: eixo x (ou seja, a reta y=0).
  • O que se pede: volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada por essas curvas em torno do eixo x.\n
    Observação importante (que será usada na resolução): para montar a integral precisamos saber em quais valores de x as duas curvas se intersectam (os limites de integração).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre y=x^{2}-5x e y=0. Para isso resolvemos
x^{2}-5x=0.
Fatorando:
x(x-5)=0,
logo as interseções são
x=0\quad\text{e}\quad x=5.
Portanto a região está entre x=0 e x=5.

Passo 3

Escolher o método para calcular o volume e explicar a fórmula usada.\n
Método (disco / fatia perpendicular ao eixo x): para rotação em torno do eixo x, o volume pode ser obtido integrando a área de seções transversais perpendiculares ao eixo x. A fórmula geral é
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx,
onde A(x) é a área da seção transversal em x. Quando a seção é um disco de raio R(x),
A(x)=\pi [R(x)]^{2}.
Se houver um “furo” (anel), a área é \pi[R_{\text{ext}}(x)]^{2}-\pi[R_{\text{int}}(x)]^{2}. Aqui a região está entre a curva y=x^{2}-5x e o eixo x (reta y=0), e o eixo x é a fronteira superior da região. Para um x fixo em [0,5] temos que y=x^{2}-5x\le 0, então a distância da curva ao eixo é positiva dada por
\text{distância} = 0-(x^{2}-5x)=5x-x^{2}.â
Essa distância será o raio do disco gerado pela rotação. Não há buraco interno porque a fronteira superior é o próprio eixo de rotação.

Passo 4

Montar a integral do volume usando o raio encontrado. Para x\in[0,5] o raio é R(x)=5x-x^{2}. Assim
V=\int_{0}^{5}\pi\bigl(R(x)\bigr)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{5}(5x-x^{2})^{2}\,dx.

Passo 5

Expandir o integrando para facilitar a integração. Primeiro escrevemos
(5x-x^{2})^{2}=x^{2}(5-x)^{2}.
Expandindo explicitamente:
(5x-x^{2})^{2}=25x^{2}-10x^{3}+x^{4}.
Portanto a integral vira
V=\pi\int_{0}^{5}\bigl(x^{4}-10x^{3}+25x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a primitiva termo a termo. As antiderivadas são:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}, \qquad \int -10x^{3}\,dx=-10\cdot\frac{x^{4}}{4}=-\frac{5}{2}x^{4}, \qquad \int 25x^{2}\,dx=25\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{25}{3}x^{3}.
Logo uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{5}{2}x^{4}+\frac{25}{3}x^{3}.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre os limites 0 e 5. Primeiro avaliando em x=5:
F(5)=\frac{5^{5}}{5}-\frac{5}{2}5^{4}+\frac{25}{3}5^{3}.
Calculemos cada termo:
\frac{5^{5}}{5}=5^{4}=625,
-\frac{5}{2}5^{4}=-\frac{5}{2}\cdot 625=-\frac{3125}{2},
\frac{25}{3}5^{3}=\frac{25}{3}\cdot 125=\frac{3125}{3}.
Somando os três termos:
F(5)=625-\frac{3125}{2}+\frac{3125}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
625=\frac{3750}{6},\qquad -\frac{3125}{2}=-\frac{9375}{6},\qquad \frac{3125}{3}=\frac{6250}{6}.
Somando:
F(5)=\frac{3750-9375+6250}{6}=\frac{625}{6}.
Como F(0)=0, o valor da integral é F(5)-F(0)=\dfrac{625}{6}. Multiplicando por \pi obtemos o volume.

Passo 8

Resultado final do cálculo:
V=\pi\cdot\frac{625}{6}=\frac{625\pi}{6}.
Como valor aproximado (apenas para intuição), \dfrac{625\pi}{6}\approx 327{,}249, mas a resposta exata é melhor mantê-la em termos de \pi.

Resposta

\displaystyle \frac{625\pi}{6}

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