Nos exercícios 1 a 10, calcule a integral indicada.
\int_{-1}^{1}|x| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} |x| \, dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é |x|.
  • O intervalo de integração é [-1,1].
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Entender o que é |x|\) é essencial. A função valor absoluto tem a definição por partes: \[|x| = \begin{cases} -x, & \text{se } x<0,\\[4pt] x, & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
Isso significa que a expressão da função muda em x=0\]. Como o intervalo de integração \([-1,1] atravessa 0, vamos separar a integral em dois trechos onde a fórmula é simples.]

Passo 3

Justificativa rápida de integrabilidade: |x| é contínua em todo [-1,1] (pois é função polinomial em cada ramo e não tem descontinuidade em 0), logo é integrável no intervalo. Podemos aplicar a propriedade de linearidade e somar integrais em subintervalos.

Passo 4

Usando a expressão por partes, escrevemos a integral como soma de duas integrais:
\int_{-1}^{1} |x| \, dx = \int_{-1}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx.
Aqui substituímos |x|=-x quando x<0 e |x|=x quando x\ge0.

Passo 5

Calcular cada integral separadamente. Antiderivadas úteis:
  • Uma antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}.
  • Uma antiderivada de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}.
Logo,
\int_{-1}^{0} (-x)\,dx = \left[-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{x=-1}^{x=0} = \left(-\dfrac{0^{2}}{2}\right) - \left(-\dfrac{(-1)^{2}}{2}\right) = 0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora a segunda integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{x=0}^{x=1} = \dfrac{1^{2}}{2} - \dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
\int_{-1}^{1} |x|\,dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1.
Observação rápida: uma alternativa mais curta é usar que |x| é função par (mesmo que f(-x)=f(x)), então
\int_{-1}^{1} |x|\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx = 2\cdot\dfrac{1}{2}=1,
mas o processo por partes mostrou explicitamente como proceder numa prova.

Resposta

1

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