Determine o menor comprimento para a corrente ACB que pode ser usado para suspender uma caixa de
de tal forma que a tensão na corrente não exceda 5 kN .
Resposta: 1,25 m.
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar o menor comprimento da corrente
(isto é, o comprimento total percorrido da ponta até e de até ) de modo que a tensão na corrente não exceda .
Informações dadas (extraídas do enunciado e da imagem):
- Peso da caixa:
. - Tensão máxima admissível na corrente:
. - Distância horizontal entre os pontos
e (extraída da imagem): . - A imagem mostra as correntes
e simétricas (o ponto está no plano médio entre e ). - A imagem também mostra uma dimensão vertical de
(altura da caixa), que está indicada na figura, mas essa distância não é necessária para encontrar o comprimento mínimo da corrente que garante a tensão limitada.
Resumo do que vamos usar:
- Cada ramo
e tem mesma tensão e faz um ângulo com a vertical. - Equilíbrio vertical em
dará a relação entre , e . - Relação geométrica entre
e o comprimento de cada ramo permite achar o comprimento total mínimo.
Passo 2
Equilíbrio de forças no nó
(explicando a ideia):
Como o sistema é simétrico, as duas correntes têm a mesma tensão . Cada corrente fornece uma componente vertical para suportar o peso. As componentes horizontais se anulam (uma puxa para a esquerda, outra para a direita). Pela condição de equilíbrio vertical:
Como o sistema é simétrico, as duas correntes têm a mesma tensão
A componente vertical de uma corrente é
(porque
é o ângulo entre a corrente e a vertical; a componente na vertical é a hipotenusa
vezes o cosseno do ângulo). Então:
Nesta fórmula:
-
é a tensão em cada ramo (temos limite ). -
é o ângulo entre o ramo (ou ) e a vertical. -
é o peso da caixa.
Como queremos que a tensão não exceda
, usamos
para encontrar o ângulo mais favorável (menor comprimento possível ainda assegurando
). Assim:
Substituindo números (usar vírgula decimal conforme enunciado):
Agora calculamos
(pois servirá para relacionar com o comprimento):
(Explicação curta: usamos a identidade trigonométrica
.)
Passo 3
Relação geométrica entre
e o comprimento de cada ramo
:
Considere o triângulo reto que tem como cateto horizontal metade da distância entre e
e hipotenusa igual ao comprimento do ramo
. Como a configuração é simétrica, a metade da distância entre
e
é
Considere o triângulo reto que tem como cateto horizontal metade da distância entre
No triângulo, a função seno relaciona o cateto oposto (horizontal) com a hipotenusa (comprimento do ramo
):
Isolando
:
Substituindo
:
Como a corrente
é composta por dois ramos iguais
e
, o comprimento total mínimo da corrente é
Passo 4
Verificação rápida de consistência e interpretação física (curtinha e motivadora):
- O resultado indica que, para não exceder
em cada ramo, o ponto precisa estar a uma pequena altura acima de (o ramo não tem que ser muito longo). - Podemos ainda calcular a elevação vertical
do ponto em relação a se quisermos: . Isso mostra onde estaria verticalmente para esse caso mínimo. - Tudo está coerente com as relações de equilíbrio e trigonometria usadas.
Resposta
1,25 m