Determine o menor comprimento para a corrente ACB que pode ser usado para suspender uma caixa de 2,8 \mathrm{kN} de tal forma que a tensão na corrente não exceda 5 kN .
Resposta: 1,25 m.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o menor comprimento da corrente A C B (isto é, o comprimento total percorrido da ponta A até C e de C até B) de modo que a tensão na corrente não exceda 5\\ \mathrm{kN}.
Informações dadas (extraídas do enunciado e da imagem):
  • Peso da caixa: W = 2{,}8\\ \mathrm{kN}.
  • Tensão máxima admissível na corrente: T_{\max}=5\\ \mathrm{kN}.
  • Distância horizontal entre os pontos A e B (extraída da imagem): 1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • A imagem mostra as correntes A C e C B simétricas (o ponto C está no plano médio entre A e B).
  • A imagem também mostra uma dimensão vertical de 0{,}7\\ \mathrm{m} (altura da caixa), que está indicada na figura, mas essa distância não é necessária para encontrar o comprimento mínimo da corrente que garante a tensão limitada.
Resumo do que vamos usar:
  • Cada ramo A C e C B tem mesma tensão T e faz um ângulo \theta com a vertical.
  • Equilíbrio vertical em C dará a relação entre T, \theta e W.
  • Relação geométrica entre \theta e o comprimento de cada ramo permite achar o comprimento total mínimo.

Passo 2

Equilíbrio de forças no nó C (explicando a ideia):
Como o sistema é simétrico, as duas correntes têm a mesma tensão T. Cada corrente fornece uma componente vertical para suportar o peso. As componentes horizontais se anulam (uma puxa para a esquerda, outra para a direita). Pela condição de equilíbrio vertical:
\text{soma das componentes verticais} = W.
A componente vertical de uma corrente é T\cos\theta (porque \theta é o ângulo entre a corrente e a vertical; a componente na vertical é a hipotenusa T vezes o cosseno do ângulo). Então:
2\,T\cos\theta = W.
Nesta fórmula:
  • T é a tensão em cada ramo (temos limite T\le T_{\max}).
  • \theta é o ângulo entre o ramo AC (ou CB) e a vertical.
  • W é o peso da caixa.
Como queremos que a tensão não exceda T_{\max}, usamos T=T_{\max} para encontrar o ângulo mais favorável (menor comprimento possível ainda assegurando T\le T_{\max}). Assim:
\cos\theta = \frac{W}{2T_{\max}}.
Substituindo números (usar vírgula decimal conforme enunciado):
\cos\theta = \frac{2{,}8}{2\cdot 5} = \frac{2{,}8}{10} = 0{,}28.
Agora calculamos \sin\theta (pois servirá para relacionar com o comprimento):
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-0{,}28^2} = \sqrt{1-0{,}0784} = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96.
(Explicação curta: usamos a identidade trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1.)

Passo 3

Relação geométrica entre \theta e o comprimento de cada ramo A C:
Considere o triângulo reto que tem como cateto horizontal metade da distância entre A e B e hipotenusa igual ao comprimento do ramo A C. Como a configuração é simétrica, a metade da distância entre A e B é
\frac{1{,}2}{2}=0{,}6\\ \mathrm{m}.
No triângulo, a função seno relaciona o cateto oposto (horizontal) com a hipotenusa (comprimento do ramo A C):
\sin\theta = \frac{0{,}6}{\text{comprimento }AC}.
Isolando AC:
AC = \frac{0{,}6}{\sin\theta}.
Substituindo \sin\theta=0{,}96:
AC = \frac{0{,}6}{0{,}96} = 0{,}625\\ \mathrm{m}.
Como a corrente A C B é composta por dois ramos iguais AC e CB, o comprimento total mínimo da corrente é
\text{comprimento }ACB = 2\cdot AC = 2\cdot 0{,}625 = 1{,}25\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Verificação rápida de consistência e interpretação física (curtinha e motivadora):
  • O resultado indica que, para não exceder 5\\ \mathrm{kN} em cada ramo, o ponto C precisa estar a uma pequena altura acima de A (o ramo não tem que ser muito longo).
  • Podemos ainda calcular a elevação vertical h do ponto C em relação a A se quisermos: h = AC\cos\theta = 0{,}625\times 0{,}28 \approx 0{,}175\\ \mathrm{m}. Isso mostra onde C estaria verticalmente para esse caso mínimo.
  • Tudo está coerente com as relações de equilíbrio e trigonometria usadas.

Resposta

1,25 m

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