Foram medidos os alongamentos e distorções em um ponto da superfície externa de uma estrutura, segundo eixos cartesianos (x, y, z). Foram encontrados os seguintes valores: \varepsilon_{\mathrm{x}}=\varepsilon_{\mathrm{y}}=1 \times 10^{-3}, \varepsilon_{\mathrm{z}}=-1 \times 10^{-3}, \gamma_{\mathrm{xy}}=4 \times 10^{-3}, \gamma_{\mathrm{yz}}=\gamma_{\mathrm{xz}}=0,
Sabe-se, também, que a tensão de cisalhamento no plano ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) é \tau_{\mathrm{xy}}=300 \mathrm{MPa}. O módulo de elasticidade do material é E=200 \mathrm{GPa}. Pede-se:
a) Determinar o coeficiente de Poisson v;
b) Calcular as tensões \sigma_{\mathrm{x}} \sigma_{\mathrm{y}}, \sigma_{\mathrm{z}}, \tau_{\mathrm{xz}}, \tau_{\mathrm{yz}}. O estado de tensões é plano ou triplo? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os valores do enunciado).
Dados medidos:
\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=1\times 10^{-3}.
\varepsilon_{z}=-1\times 10^{-3}.
\gamma_{xy}=4\times 10^{-3}.
\gamma_{yz}=\gamma_{xz}=0.
\tau_{xy}=300\\ \mathrm{MPa}.
Módulo de Young: E=200\\ \mathrm{GPa}.
O enunciado pede:
(a) Determinar o coeficiente de Poisson \nu.
(b) Calcular as tensões \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \sigma_z,\\ \tau_{xz},\\ \tau_{yz}.
Além disso, dizer se o estado de tensões é plano ou tríplice e justificar.
Passo 2
Entendendo a parte de cisalhamento (aula rápida e concreta). Para materiais lineares isotrópicos, a relação entre tensão de cisalhamento e deformação de engenharia é
\tau_{ij}=G\,\gamma_{ij},
onde G é o módulo de cisalhamento e \gamma_{ij} é a deformação de engenharia de cisalhamento (aquela que o enunciado forneceu, por exemplo \gamma_{xy}). Aqui i,j são x,y,z. Então podemos obter G a partir de \tau_{xy} e \gamma_{xy}.
Apresentando o sistema tridimensional de Hooke (fórmula que vamos usar para as normais). Em notação compressiva tensões/estrias pequenas, as equações para deformações normais são:
Explicando as variáveis: \varepsilon_i são as deformações normais (dadas), \sigma_i as tensões normais (incógnitas), E e \nu já conhecidos. Essas equações valem para material isotrópico linear, pequenas deformações.
Passo 5
Usando simetria para reduzir incógnitas e montar equações. Observação útil: as deformações em x e y são iguais (\varepsilon_x=\varepsilon_y), então por isotropia espera-se que \sigma_x=\sigma_y. Vamos definir
\sigma\equiv\sigma_x=\sigma_y.
Então as duas primeiras equações reduzem-se a uma só:
Calcular as tensões de cisalhamento restantes a partir das deformações de cisalhamento. Como a relação é \tau_{ij}=G\,\gamma_{ij} e G=75\\ \mathrm{GPa}:
Como todas as tensões não nulas atuam apenas no plano xy e as componentes relacionadas ao eixo z são nulas (\sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0), trata-se de um estado de tensões plano (estado plano de tensões no plano xy). Em contraste, um estado tríplice teria \sigma_z\neq 0 ou pelo menos uma das \tau_{xz},\tau_{yz} não nula.