Foram medidos os alongamentos e distorções em um ponto da superfície externa de uma estrutura, segundo eixos cartesianos (x, y, z). Foram encontrados os seguintes valores:
\varepsilon_{\mathrm{x}}=\varepsilon_{\mathrm{y}}=1 \times 10^{-3}, \varepsilon_{\mathrm{z}}=-1 \times 10^{-3}, \gamma_{\mathrm{xy}}=4 \times 10^{-3}, \gamma_{\mathrm{yz}}=\gamma_{\mathrm{xz}}=0,
Sabe-se, também, que a tensão de cisalhamento no plano ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) é \tau_{\mathrm{xy}}=300 \mathrm{MPa}. O módulo de elasticidade do material é E=200 \mathrm{GPa}. Pede-se:
a) Determinar o coeficiente de Poisson v;
b) Calcular as tensões \sigma_{\mathrm{x}} \sigma_{\mathrm{y}}, \sigma_{\mathrm{z}}, \tau_{\mathrm{xz}}, \tau_{\mathrm{yz}}. O estado de tensões é plano ou triplo? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os valores do enunciado).
Dados medidos:
  • \varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}=1\times 10^{-3}.
  • \varepsilon_{z}=-1\times 10^{-3}.
  • \gamma_{xy}=4\times 10^{-3}.
  • \gamma_{yz}=\gamma_{xz}=0.
  • \tau_{xy}=300\\ \mathrm{MPa}.
  • Módulo de Young: E=200\\ \mathrm{GPa}.
O enunciado pede:
(a) Determinar o coeficiente de Poisson \nu.
(b) Calcular as tensões \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \sigma_z,\\ \tau_{xz},\\ \tau_{yz}.
Além disso, dizer se o estado de tensões é plano ou tríplice e justificar.

Passo 2

Entendendo a parte de cisalhamento (aula rápida e concreta). Para materiais lineares isotrópicos, a relação entre tensão de cisalhamento e deformação de engenharia é
\tau_{ij}=G\,\gamma_{ij},
onde G é o módulo de cisalhamento e \gamma_{ij} é a deformação de engenharia de cisalhamento (aquela que o enunciado forneceu, por exemplo \gamma_{xy}). Aqui i,j são x,y,z. Então podemos obter G a partir de \tau_{xy} e \gamma_{xy}.
Calcule G:
G=\frac{\tau_{xy}}{\gamma_{xy}}=\frac{300\\ \mathrm{MPa}}{4\times 10^{-3}}.
Fazendo as contas:
G=\frac{300\times 10^{6}}{4\times 10^{-3}}=75\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}=75\\ \mathrm{GPa}.

Passo 3

Relação entre E,\;G e \nu (fórmula e explicação). Para material isotrópico linear vale
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Essa fórmula vem da teoria da elasticidade linear e relaciona o módulo de cisalhamento G com o módulo de Young E e o coeficiente de Poisson \nu.
Isolando \nu,
\nu=\frac{E}{2G}-1.
Substituindo E=200\\ \mathrm{GPa} e G=75\\ \mathrm{GPa}:
\nu=\frac{200}{2\cdot 75}-1=\frac{200}{150}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}\approx 0{,}3333.

Passo 4

Apresentando o sistema tridimensional de Hooke (fórmula que vamos usar para as normais). Em notação compressiva tensões/estrias pequenas, as equações para deformações normais são:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr),
\varepsilon_y=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z)\bigr),
\varepsilon_z=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\bigr).
Explicando as variáveis: \varepsilon_i são as deformações normais (dadas), \sigma_i as tensões normais (incógnitas), E e \nu já conhecidos. Essas equações valem para material isotrópico linear, pequenas deformações.

Passo 5

Usando simetria para reduzir incógnitas e montar equações. Observação útil: as deformações em x e y são iguais ( \varepsilon_x=\varepsilon_y), então por isotropia espera-se que \sigma_x=\sigma_y. Vamos definir
\sigma\equiv\sigma_x=\sigma_y.
Então as duas primeiras equações reduzem-se a uma só:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma-\nu(\sigma+\sigma_z)\bigr)=\frac{1}{E}\bigl(\sigma(1-\nu)-\nu\sigma_z\bigr).
A equação para z fica:
\varepsilon_z=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_z-2\nu\sigma\bigr).

Passo 6

Substituir valores numéricos e resolver o sistema linear. Primeiro calcule E\varepsilon para simplificar:
E\varepsilon_x=200\\ \mathrm{GPa}\times 1\times 10^{-3}=200\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=200\\ \mathrm{MPa},
E\varepsilon_z=200\\ \mathrm{GPa}\times (-1\times 10^{-3})=-200\\ \mathrm{MPa}.
Com \nu=\tfrac{1}{3} as equações ficam (escrevendo em MPa para facilitar):
200=\frac{2}{3}\sigma-\frac{1}{3}\sigma_z, \tag{1}
-200=\sigma_z-\frac{2}{3}\sigma. \tag{2}
Resolver (2) para \sigma_z:
\sigma_z=-200+\frac{2}{3}\sigma.
Substituir em (1):
200=\frac{2}{3}\sigma-\frac{1}{3}\Bigl(-200+\frac{2}{3}\sigma\Bigr) =\frac{2}{3}\sigma+\frac{200}{3}-\frac{2}{9}\sigma.
Reunindo termos:
200=\Bigl(\frac{2}{3}-\frac{2}{9}\Bigr)\sigma+\frac{200}{3} =\frac{4}{9}\sigma+\frac{200}{3}.
Multiplicar por 9:
1800=4\sigma+600 \quad\Rightarrow\quad 4\sigma=1200 \quad\Rightarrow\quad \sigma=300\\ \mathrm{MPa}.
Então
\sigma_x=\sigma_y=300\\ \mathrm{MPa}.
Agora \sigma_z:
\sigma_z=-200+\frac{2}{3}\cdot 300=-200+200=0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Calcular as tensões de cisalhamento restantes a partir das deformações de cisalhamento. Como a relação é \tau_{ij}=G\,\gamma_{ij} e G=75\\ \mathrm{GPa}:
\tau_{xz}=G\,\gamma_{xz}=75\\ \mathrm{GPa}\times 0=0,
\tau_{yz}=G\,\gamma_{yz}=75\\ \mathrm{GPa}\times 0=0.
Relembrando: \tau_{xy} já dada é 300\\ \mathrm{MPa} e foi usada para achar G.

Passo 8

Classificação do estado de tensões (explicação final e justificação). Encontramos:
  • \sigma_x=300\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=300\\ \mathrm{MPa}, \sigma_z=0\\ \mathrm{MPa}.
  • \tau_{xy}=300\\ \mathrm{MPa}, \tau_{xz}=0, \tau_{yz}=0.
Como todas as tensões não nulas atuam apenas no plano xy e as componentes relacionadas ao eixo z são nulas ( \sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0), trata-se de um estado de tensões plano (estado plano de tensões no plano xy). Em contraste, um estado tríplice teria \sigma_z\neq 0 ou pelo menos uma das \tau_{xz},\tau_{yz} não nula.

Resposta

(a) \nu=\dfrac{1}{3}
(b) \sigma_x=300\\ \mathrm{MPa}
\sigma_y=300\\ \mathrm{MPa}
\sigma_z=0\\ \mathrm{MPa}
\tau_{xz}=0\\ \mathrm{MPa}
\tau_{yz}=0\\ \mathrm{MPa}
Estado de tensões: plano (no plano xy).

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