Determine a, b, c de modo que y=a x^{2}+b x+c seja uma solução particular da e.d.o. linear nãohomogênea
y^{\prime \prime}-y=x^{2}+3
determine a solução geral da e.d.o…

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''-y=x^{2}+3
e pede duas coisas:
  • Determinar a,b,c tais que y=a x^{2}+b x+c seja uma solução particular da equação não-homogênea.
  • Determinar a solução geral da equação diferencial.
Informações relevantes dadas:
  • A parte direita (termo não-homogêneo) é o polinômio x^{2}+3.
  • Foi sugerido procurar uma solução particular da forma polinomial y=a x^{2}+b x+c.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): a solução geral de uma equação linear não-homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular qualquer:
y_{\text{geral}}=y_{\text{h}}+y_{\text{p}}.
Aqui:
  • y_{\text{h}} é solução da equação homogênea \,y''-y=0.
  • y_{\text{p}} é qualquer solução que satisfaça a equação completa \,y''-y=x^{2}+3.
Vou primeiro achar y_{\text{h}} e depois achar y_{\text{p}} na forma polinomial proposta.

Passo 3

Resolver a homogênea. Para \,y''-y=0 suponha solução do tipo exponencial y=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
As raízes são
r=\pm 1.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{\text{h}}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: cada raíz r e^{r x}; com duas raízes distintas temos combinação linear das duas exponenciais.)

Passo 4

Escolha da forma da solução particular (método dos coeficientes indeterminados): como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, tentamos uma solução particular polinomial de grau 2:
y_{\text{p}}=a x^{2}+b x+c,
com a,b,c desconhecidos a determinar. Observação sobre ressonância: se a solução homogênea contivesse polinômios (por exemplo se r=0 fosse raiz), seria necessário multiplicar a tentativa por potências de x; aqui a homogênea tem somente exponenciais e^{\pm x}, então não há ressonância com polinômios e a forma acima é adequada.

Passo 5

Calcular derivadas de y_{\text{p}}. Derivando termo a termo:
y_{\text{p}}'=2a x + b,
y_{\text{p}}''=2a.
Aqui explico: a derivada de a x^{2} é 2a x, de b x é b, e de c é 0. A segunda derivada de a x^{2} é 2a e as outras contribuem zero.

Passo 6

Substituir y_{\text{p}}, y_{\text{p}}'' na equação \,y''-y=x^{2}+3:
y_{\text{p}}''-y_{\text{p}}=2a-(a x^{2}+b x+c).
Organizando por potências de x:
y_{\text{p}}''-y_{\text{p}} = -a x^{2} - b x + (2a - c).

Passo 7

Igualar o polinômio obtido ao lado direito x^{2}+3. Dois polinômios são iguais quando os coeficientes correspondentes das mesmas potências de x são iguais. Assim:
  • Coeficiente de x^{2}: -a = 1.
  • Coeficiente de x: -b = 0.
  • Coeficiente constante: 2a - c = 3.
Escrever o sistema:
\begin{cases} -a = 1,\\[4pt] -b = 0,\\[4pt] 2a - c = 3. \end{cases}]

Passo 8

Resolver o sistema passo a passo:
  • De -a=1 segue a=-1.
  • De -b=0 segue b=0.
  • Substituindo a=-1 em 2a-c=3 temos 2(-1)-c=3\Rightarrow -2-c=3\Rightarrow c=-5.
Portanto
a=-1,\qquad b=0,\qquad c=-5.

Passo 9

Escrever a solução particular encontrada: com os valores obtidos
y_{\text{p}}=-x^{2}-5.
Verificação rápida (opcional mas reconfortante): calcular y_{\text{p}}''-y_{\text{p}}. Aqui y_{\text{p}}''=2a=2(-1)=-2, então
y_{\text{p}}''-y_{\text{p}} = -2 -(-x^{2}-5)=x^{2}+3,
o que coincide com o lado direito, confirmação de que a particular está correta.

Passo 10

Montar a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_{\text{h}}+y_{\text{p}}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x^{2}-5,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

a=-1,\; b=0,\; c=-5\n
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x^{2}-5

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