(2.0) Calcule a integral abaixo, utilizando o método de integração que achar conveniente.
\int \frac{x^{2}-1}{\sqrt{2 x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-1}{\sqrt{2 x-1}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{2x-1}}.
  • Quer-se uma antiderivada (integral indefinida), portanto a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Escolher um método conveniente. Aqui há uma raiz \sqrt{2x-1} no denominador; uma substituição que simplifica essa raiz costuma ser a melhor escolha. Vou usar a substituição
u=\sqrt{2x-1}.
Explicação didática: com essa escolha a expressão dentro da raiz vira u^{2}, o que nos permite escrever x e dx em função de u e eliminar a raiz do denominador. Isso transforma a integral em um polinômio em u, que é muito mais simples de integrar.

Passo 3

Relacionar u e x e calcular dx.
u^{2}=2x-1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u^{2}+1}{2}.
Diferenciando ambos os lados em relação a u:
2u\,du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=u\,du.
Portanto dx foi substituído por u\,du.

Passo 4

Expressar o numerador x^{2}-1 em função de u.
Primeiro escrever x em u:
x=\frac{u^{2}+1}{2}.
Agora calcular x^{2}-1:
x^{2}-1=\left(\frac{u^{2}+1}{2}\right)^{2}-1 =\frac{u^{4}+2u^{2}+1}{4}-1 =\frac{u^{4}+2u^{2}+1-4}{4} =\frac{u^{4}+2u^{2}-3}{4}.

Passo 5

Substituir tudo na integral original. Lembre que \sqrt{2x-1}=u e dx=u\,du. Então
\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x-1}}\,dx =\frac{\dfrac{u^{4}+2u^{2}-3}{4}}{u}\cdot (u\,du).
Simplificando o u do denominador com o u de dx:
\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x-1}}\,dx=\frac{u^{4}+2u^{2}-3}{4}\,du.
Logo a integral vira
\int \frac{x^{2}-1}{\sqrt{2x-1}}\,dx =\frac{1}{4}\int \bigl(u^{4}+2u^{2}-3\bigr)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo o polinômio em u.
Antiderivadas:
\int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5},\qquad \int 2u^{2}\,du=2\cdot\frac{u^{3}}{3}=\frac{2u^{3}}{3},\qquad \int (-3)\,du=-3u.
Multiplicando por \dfrac{1}{4}:
\frac{1}{4}\left(\frac{u^{5}}{5}+\frac{2u^{3}}{3}-3u\right) =\frac{1}{20}u^{5}+\frac{1}{6}u^{3}-\frac{3}{4}u + C.

Passo 7

Voltar à variável x substituindo u=\sqrt{2x-1}.
u^{5}=(2x-1)^{5/2},\qquad u^{3}=(2x-1)^{3/2},\qquad u=(2x-1)^{1/2}.
Portanto a antiderivada em termos de x é
\frac{1}{20}(2x-1)^{5/2}+\frac{1}{6}(2x-1)^{3/2}-\frac{3}{4}(2x-1)^{1/2}+C.

Resposta

\frac{1}{20}(2x-1)^{5/2}+\frac{1}{6}(2x-1)^{3/2}-\frac{3}{4}(2x-1)^{1/2}+C

Exercícios relacionados