(2.0) Calcule a integral abaixo, utilizando o método de integração que achar conveniente.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Quer-se uma antiderivada (integral indefinida), portanto a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Escolher um método conveniente. Aqui há uma raiz
no denominador; uma substituição que simplifica essa raiz costuma ser a melhor escolha. Vou usar a substituição
Explicação didática: com essa escolha a expressão dentro da raiz vira
, o que nos permite escrever
e
em função de
e eliminar a raiz do denominador. Isso transforma a integral em um polinômio em
, que é muito mais simples de integrar.
Passo 3
Relacionar
e
e calcular
.
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Portanto
foi substituído por
.
Passo 4
Expressar o numerador
em função de
.
Primeiro escrever em
:
Primeiro escrever
Agora calcular
:
Passo 5
Substituir tudo na integral original. Lembre que
e
. Então
Simplificando o
do denominador com o
de
:
Logo a integral vira
Passo 6
Integrar termo a termo o polinômio em
.
Antiderivadas:
Antiderivadas:
Multiplicando por
:
Passo 7
Voltar à variável
substituindo
.
Portanto a antiderivada em termos de
é