(3) (1,0) Determine o módulo da corrente em um fio de raio R=3,40 mm se o módulo da densidade de corrente é dado por:
Ja(r)=J0(r / R)
OBS: Considere que J0=7,5 cdot 10^4 A / m^2.
OBS2: Nas letras (a) e (b), a variável r representa uma distância radial (medida a partir do centro do fio).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a densidade de corrente num fio cilíndrico de raio Ja(r) = J0,rR, varia com a distância radial I = integral duplaárea Ja(r),dA conforme
sendo .
Conteúdo da matéria: densidade de corrente elétrica e cálculo de corrente total via integração em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar: saber que a corrente total é
á
e lembrar que o elemento de área num círculo de raio é .

Passo 2

Teoria básica: a densidade de corrente é a corrente por unidade de área que passa numa seção transversal do fio. Para achar a corrente total, somamos (integramos) todas as “pequenas correntes” de 0 até . Em coordenadas cilíndricas, cada anel de raio e espessura tem área .

Passo 3

Montando a integral para a corrente total:
I = integral0^R Ja(r),dA = integral0^R l(J0,rRr),(2pi,r,dr) = 2pi,J0,1Rintegral0^R r^2,dr

Passo 4

Agora efetuamos a integral I = 2pi,J0,1R,R^33 = 2pi,J0,R^23 . Então

Passo 5

Só falta botar os números:
R = 3,40 mm = 3,40times10^-3,m, J0 = 7,5times10^4,A/m^2
Calculando I = 2pi3, (7,5times10^4),(1,156times10^-5) approx 1,82 A ,

Resposta

A corrente total no fio é aproximadamente .

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