Determine o módulo de resiliência de cada uma das seguintes ligas de alumínio:
(c) 6061-T6 E=69 \mathrm{GPa}: \sigma_{E}=150 \mathrm{MPa}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o módulo de resiliência da liga de alumínio 6061-T6.
Dados fornecidos no enunciado:
E = 69\\ \mathrm{GPa} e \sigma_{E} = 150\\ \mathrm{MPa}.
Não há outras informações; vamos usar esses valores como limite elástico ( \sigma_{E}) e módulo de Young ( E).

Passo 2

Definição e fórmula básica (aula rápida e prática).
O módulo de resiliência U_{r} é a energia de deformação elástica armazenada por unidade de volume até o limite elástico. Matematicamente é a integral da tensão em função da deformação desde zero até a deformação elástica \varepsilon_{y}:
U_{r}=\int_{0}^{\varepsilon_{y}}\sigma\,d\varepsilon.
Se o material é linear-elástico (reta tensão-deformação), o gráfico tensão versus deformação é uma reta e a área sob a curva até \varepsilon_{y} é a área de um triângulo. Portanto:
U_{r}=\tfrac{1}{2}\sigma_{y}\varepsilon_{y}.
Pela Lei de Hooke, \sigma = E\varepsilon, logo a deformação ao escoamento é \varepsilon_{y}=\dfrac{\sigma_{y}}{E}. Substituindo:
U_{r}=\tfrac{1}{2}\sigma_{y}\left(\dfrac{\sigma_{y}}{E}\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sigma_{y}^{2}}{E}.
Explicando as variáveis: \sigma_{y} (ou \sigma_{E} no enunciado) é a tensão de escoamento (em Pa), E é o módulo de Young (em Pa), e U_{r} terá unidades de energia por volume, isto é, \mathrm{J/m^{3}} (igual numericamente a Pa).

Passo 3

Conversão de unidades para o cálculo (sempre faço isso pra evitar erro):
1\\ \mathrm{GPa}=10^{9}\\ \mathrm{Pa},\qquad 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
E = 69\\ \mathrm{GPa} = 69\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
\sigma_{E}=150\\ \mathrm{MPa}=150\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Substituição na fórmula e desenvolvimento das potências:
Usando \displaystyle U_{r}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sigma_{E}^{2}}{E}, primeiro calculemos \sigma_{E}^{2}:
\sigma_{E}^{2}=(150\times10^{6})^{2}=150^{2}\times10^{12}=22500\times10^{12}=2,25\times10^{16}.
Metade disso (numerador):
\tfrac{1}{2}\sigma_{E}^{2}=1,125\times10^{16}.

Passo 5

Dividindo pelo módulo E e obtendo o resultado numérico:
U_{r}=\dfrac{1,125\times10^{16}}{69\times10^{9}}=\left(\dfrac{1,125}{69}\right)\times10^{7}.
Calcule \dfrac{1,125}{69}\approx0,0163043478, então
U_{r}\approx0,0163043478\times10^{7}=1,63043478\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas dadas os dados):
U_{r}\approx1,63\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Para interpretar melhor, isso equivale a:
U_{r}\approx163\\ \mathrm{kJ/m^{3}}\quad\text{ou}\quad U_{r}\approx0,163\\ \mathrm{MPa}
(lembrando que 1\\ \mathrm{J/m^{3}}=1\\ \mathrm{Pa}).

Resposta

U_{r}=1,63\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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