1. Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x, que passa pelo centroide C. (Resposta: I_{x}=0,0954 d^{4} )

Passo 1

O enunciado pede: determinar o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x que passa pelo centroide C.
Informações dadas (extraídas da figura):
  • A seção é um hexágono com pares de lados paralelos (ângulos de 60^\circ na geometria), simétrico em relação aos eixos que passam pelo centroide C.
  • A distância vertical do centro C até a face superior é \tfrac{d}{2} e até a face inferior é \tfrac{d}{2}. Logo, a altura total (distância entre faces paralelas superior e inferior) é d.
  • O eixo x é o eixo horizontal que passa pelo centroide C. O momento de inércia pedido é, portanto, \displaystyle I_x=\iint_{A} y^{2}\,dA (onde y é a coordenada vertical medida a partir de C).
O enunciado pede apenas \,I_x (momento de inércia em relação ao eixo x que passa por C).

Passo 2

Plano de solução (resumido e didático):
  • Modelar a posição dos vértices do hexágono num sistema de eixos centrado em C. Como a seção é regular nas orientações mostradas (pares de faces paralelas e ângulos de 60^\circ), é natural posicioná-la com faces superior e inferior horizontais; a metade da altura (apotema) vale \tfrac{d}{2}.
  • Usar a fórmula das quantidades geométricas para polígonos (fórmula do polígono por vértices / fórmula do “shoelace” estendida) para calcular a área A e o momento de inércia em relação ao eixo x: A=\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i),
I_x=\tfrac{1}{12}\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i)\, (y_i^2+y_i y_{i+1}+y_{i+1}^2),
onde os vértices são listados em ordem (e n=6 aqui).
  • Calcular explicitamente com coordenadas dos vértices e simplificar a expressão em termos de uma medida conveniente (lado s do hexágono), e então relacionar s com d (pela geometria: apótema a=\tfrac{d}{2}= \tfrac{\sqrt{3}}{2}s, portanto s=\dfrac{d}{\sqrt{3}}).
  • Substituir e obter I_x em função de d.
Vou desenvolver todos os passos detalhadamente para que fique claro como proceder na prova.

Passo 3

Escolher coordenadas dos vértices (posição conveniente e simetria).
  • Seja s o comprimento do lado do hexágono regular.
  • Coloca-se o centro C na origem (0,0). Orienta-se o hexágono de modo que as faces superior e inferior sejam horizontais (conforme a figura).
  • Para essa orientação, as coordenadas dos 6 vértices (no sentido horário) são: \begin{aligned} &P_1=(s,0),\\\ &P_2=\Big(\tfrac{s}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}s\Big),\\\ &P_3=\Big(-\tfrac{s}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}s\Big),\\\ &P_4=(-s,0),\\\ &P_5=\Big(-\tfrac{s}{2},\,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}s\Big),\\\ &P_6=\Big(\tfrac{s}{2},\,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}s\Big). \end{aligned}
  • A apótema (distância do centro à face superior) é a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}s.Pelos dados da figura, essa apótema é \tfrac{d}{2}. Portanto: \tfrac{d}{2}=a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}s \quad\Rightarrow\quad s=\dfrac{d}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calcular a área A do hexágono (verificação rápida).
  • Usando a decomposição em 6 triângulos equiláteros ou a fórmula do polígono: A = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^{2}.
  • Substituindo s=\dfrac{d}{\sqrt{3}}: A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{d^{2}}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}d^{2}.
(Esse passo é conferência: a área fica em termos de d, útil para checar passos seguintes.)

Passo 5

Aplicar a fórmula do polígono para I_x.
  • A fórmula vetorial para o momento de inércia em relação ao eixo x (horizontal passando pelo centroide, para um polígono dado por vértices (x_i,y_i), i=1,\dots,6, com x_7=x_1,y_7=y_1) é: I_x=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{6}\Big(x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i\Big)\big(y_i^2+y_i y_{i+1}+y_{i+1}^2\big).
  • Para o nosso hexágono, calculemos primeiro os termos básicos c_i = x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i. Com as coordenadas escolhidas (e lembrando que os termos se repetem por simetria), cada um desses determinantes resulta em s\cdot a, com a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}s. De fato a verificação direta dá \sum c_i = 6 s a e cada c_i=s a.
  • Para os fatores (y_i^2+y_i y_{i+1}+y_{i+1}^2) obtém-se, pelos pares de vértices sucessivos, a soma dos seis termos igual a 10 a^{2} (contando as ocorrências: quatro vezes a^{2} e duas vezes 3a^{2}, total 10 a^{2}).
  • Portanto o somatório do numerador é \sum_{i=1}^{6} c_i\,(y_i^2+y_i y_{i+1}+y_{i+1}^2)= (s a)\cdot(10 a^{2}) = 10 s a^{3}.
  • Finalmente, I_x=\frac{1}{12}\cdot 10 s a^{3} = \frac{5}{6}\,s a^{3}.

Passo 6

Expressar I_x em termos de s e depois em termos de d.
  • Substituir a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}s em I_x=\tfrac{5}{6}s a^{3}: a^{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)^{3} = s^{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}.Logo I_x = \frac{5}{6}\,s\cdot\left(s^{3}\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{5}{6}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}\,s^{4} = \frac{5\sqrt{3}}{16}\,s^{4}.
  • Agora substituir s=\dfrac{d}{\sqrt{3}}: s^{4}=\left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^{4}=\frac{d^{4}}{9},portanto I_x=\frac{5\sqrt{3}}{16}\cdot\frac{d^{4}}{9} =\frac{5\sqrt{3}}{144}\,d^{4}.

Passo 7

Avaliar numericamente o coeficiente.
  • Calculemos o valor numérico do coeficiente: \frac{5\sqrt{3}}{144}\approx \frac{5\cdot 1{,}73205}{144} \approx \frac{8{,}66025}{144}\approx 0{,}06014.
  • Assim obtemos I_x \approx 0{,}06014\,d^{4}.

Resposta

I_{x}=0{,}06014\,d^{4}

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