- Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo
, que passa pelo centroide
. (Resposta:
)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo
que passa pelo centroide
.
Informações dadas (extraídas da figura):
- A seção é um hexágono com pares de lados paralelos (ângulos de
na geometria), simétrico em relação aos eixos que passam pelo centroide . - A distância vertical do centro
até a face superior é e até a face inferior é . Logo, a altura total (distância entre faces paralelas superior e inferior) é . - O eixo
é o eixo horizontal que passa pelo centroide . O momento de inércia pedido é, portanto, (onde é a coordenada vertical medida a partir de ).
O enunciado pede apenas
(momento de inércia em relação ao eixo
que passa por
).
Passo 2
Plano de solução (resumido e didático):
- Modelar a posição dos vértices do hexágono num sistema de eixos centrado em
. Como a seção é regular nas orientações mostradas (pares de faces paralelas e ângulos de ), é natural posicioná-la com faces superior e inferior horizontais; a metade da altura (apotema) vale . - Usar a fórmula das quantidades geométricas para polígonos (fórmula do polígono por vértices / fórmula do “shoelace” estendida) para calcular a área
e o momento de inércia em relação ao eixo :
onde os vértices são listados em ordem (e
aqui).
- Calcular explicitamente com coordenadas dos vértices e simplificar a expressão em termos de uma medida conveniente (lado
do hexágono), e então relacionar com (pela geometria: apótema , portanto ). - Substituir e obter
em função de .
Vou desenvolver todos os passos detalhadamente para que fique claro como proceder na prova.
Passo 3
Escolher coordenadas dos vértices (posição conveniente e simetria).
- Seja
o comprimento do lado do hexágono regular. - Coloca-se o centro
na origem . Orienta-se o hexágono de modo que as faces superior e inferior sejam horizontais (conforme a figura). - Para essa orientação, as coordenadas dos 6 vértices (no sentido horário) são:
- A apótema (distância do centro à face superior) é
Pelos dados da figura, essa apótema é . Portanto:
Passo 4
Calcular a área
do hexágono (verificação rápida).
- Usando a decomposição em 6 triângulos equiláteros ou a fórmula do polígono:
- Substituindo
:
(Esse passo é conferência: a área fica em termos de
, útil para checar passos seguintes.)
Passo 5
Aplicar a fórmula do polígono para
.
- A fórmula vetorial para o momento de inércia em relação ao eixo
(horizontal passando pelo centroide, para um polígono dado por vértices , , com ) é: - Para o nosso hexágono, calculemos primeiro os termos básicos
. Com as coordenadas escolhidas (e lembrando que os termos se repetem por simetria), cada um desses determinantes resulta em , com . De fato a verificação direta dá e cada . - Para os fatores
obtém-se, pelos pares de vértices sucessivos, a soma dos seis termos igual a (contando as ocorrências: quatro vezes e duas vezes , total ). - Portanto o somatório do numerador é
- Finalmente,
Passo 6
Expressar
em termos de
e depois em termos de
.
- Substituir
em : Logo - Agora substituir
: portanto
Passo 7
Avaliar numericamente o coeficiente.
- Calculemos o valor numérico do coeficiente:
- Assim obtemos