1. O momento de inércia polar em relação ao eixo z^{\prime} passando pelo centroide C da área é \bar{J}_{C}= 642\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4}. O momento de inércia em relação ao eixo y^{\prime} é 264\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4}, e o momento de inércia em relação ao eixo x é 938\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4}. Determine a área A. (Resposta: I_{v}=14\left(10^{3}\right) \mathrm{mm}^{4} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
  • Foi dado que o momento polar de inércia em relação ao eixo z' passando pelo centroide C é \bar{J}_{C}=642\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{mm}^{4}.
  • Foi dado que o momento de inércia em relação ao eixo y' é I_{y'}=264\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{mm}^{4}.
  • Foi dado que o momento de inércia em relação ao eixo x (eixo paralelo a x', deslocado) é I_{x}=938\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{mm}^{4}.
  • Da imagem peguei que a distância entre os eixos x' (passando por C) e x é d=200\\ \mathrm{mm}.
  • O que o problema pede: determinar a área A da seção.

Passo 2

Entender e usar a relação entre momento polar e momentos de inércia sobre eixos ortogonais no plano do centroide. A definição usada é:
\bar{J}_{C}=I_{x'}+I_{y'}.
Explicando: \bar{J}_{C} é o momento polar de inércia em relação ao eixo z' que sai do centroide C; I_{x'} e I_{y'} são os momentos de inércia (segundos momentos) em relação aos eixos ortogonais x' e y' que passam por C. Para qualquer área plana, o momento polar no centroide é a soma dos momentos de inércia em dois eixos perpendiculares no plano.

Passo 3

Calcular I_{x'} a partir de \bar{J}_{C} e I_{y'} usando a relação do passo anterior:
I_{x'}=\bar{J}_{C}-I_{y'}.
Substituindo os valores dados:
I_{x'}=642\left(10^{6}\right)-264\left(10^{6}\right)=378\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{mm}^{4}.

Passo 4

Usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para relacionar I_{x} (momento em torno do eixo deslocado) com I_{x'} (momento em torno do eixo que passa por C). A fórmula é:
I_{x}=I_{x'}+A d^{2},
onde:
  • I_{x} é o momento de inércia em torno do eixo x deslocado,
  • I_{x'} é o momento de inércia em torno do eixo paralelo que passa pelo centroide C,
  • A é a área que queremos achar,
  • d é a distância entre os eixos (aqui d=200\\ \mathrm{mm}).
Essa fórmula vem da definição do segundo momento em torno de um eixo deslocado: cada elemento de área contribui com y^{2} adicional igual a d^{2} quando o eixo é deslocado paralelamente.

Passo 5

Isolar A na fórmula do teorema dos eixos paralelos e substituir os valores numéricos:
A=\frac{I_{x}-I_{x'}}{d^{2}}.
Calcular passo a passo:
I_{x}-I_{x'}=938\left(10^{6}\right)-378\left(10^{6}\right)=560\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{mm}^{4}.
d^{2}=(200\\ \mathrm{mm})^{2}=40\,000\\ \mathrm{mm}^{2}.
Logo
A=\frac{560\left(10^{6}\right)}{40\,000}=\frac{560\,000\,000}{40\,000}=14\,000\\ \mathrm{mm}^{2}.
Em notação científica:
A=14\times10^{3}\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 6

Cheque rápido para ver se faz sentido: computando I_{x'}+A d^{2}=378\left(10^{6}\right)+14\,000\cdot40\,000=378\left(10^{6}\right)+560\left(10^{6}\right)=938\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{mm}^{4}, que é exatamente I_{x} dado — portanto o cálculo está consistente. Força e foco: esse foi o raciocínio usual na prova (usar polar para obter I_{x'} e depois Steiner para achar A).

Resposta

A=14\times10^{3}\\ \mathrm{mm}^{2}

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