- O momento de inércia polar em relação ao eixo
passando pelo centroide
da área é
. O momento de inércia em relação ao eixo
é
, e o momento de inércia em relação ao eixo
é
. Determine a área
. (Resposta:
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
- Foi dado que o momento polar de inércia em relação ao eixo
passando pelo centroide é . - Foi dado que o momento de inércia em relação ao eixo
é . - Foi dado que o momento de inércia em relação ao eixo
(eixo paralelo a , deslocado) é . - Da imagem peguei que a distância entre os eixos
(passando por ) e é . - O que o problema pede: determinar a área
da seção.
Passo 2
Entender e usar a relação entre momento polar e momentos de inércia sobre eixos ortogonais no plano do centroide. A definição usada é:
Explicando:
é o momento polar de inércia em relação ao eixo
que sai do centroide
;
e
são os momentos de inércia (segundos momentos) em relação aos eixos ortogonais
e
que passam por
. Para qualquer área plana, o momento polar no centroide é a soma dos momentos de inércia em dois eixos perpendiculares no plano.
Passo 3
Calcular
a partir de
e
usando a relação do passo anterior:
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para relacionar
(momento em torno do eixo deslocado) com
(momento em torno do eixo que passa por
). A fórmula é:
onde:
-
é o momento de inércia em torno do eixo deslocado, -
é o momento de inércia em torno do eixo paralelo que passa pelo centroide , -
é a área que queremos achar, -
é a distância entre os eixos (aqui ).
Essa fórmula vem da definição do segundo momento em torno de um eixo deslocado: cada elemento de área contribui com
adicional igual a
quando o eixo é deslocado paralelamente.
Passo 5
Isolar
na fórmula do teorema dos eixos paralelos e substituir os valores numéricos:
Calcular passo a passo:
Logo
Em notação científica:
Passo 6
Cheque rápido para ver se faz sentido: computando
, que é exatamente
dado — portanto o cálculo está consistente. Força e foco: esse foi o raciocínio usual na prova (usar polar para obter
e depois Steiner para achar
).