1. Determıne o momento de ınercıa da area da seçao transversal da viga em relação aos eixos centroidais x e y. (Resposta: I_{x}=171\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4} e I_{y}=463\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4} )

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centroidais x (horizontal) e y (vertical).
Informações relevantes extraídas do enunciado/imagem (peguei estes números da imagem):
  • Espessura das tábuas: \,30\\ \text{mm}.
  • Largura livre (entre as tábuas verticais): \,300\\ \text{mm}.
  • Altura total externa: \,200\\ \text{mm}.
  • Há tábuas em todo o contorno formando uma seção retangular oca: duas tábuas verticais (cada \,30\\ \text{mm} de espessura) e duas tábuas horizontal (topo e base, cada \,30\\ \text{mm} de espessura).
A partir desses dados podemos inferir (também obtido da imagem):
  • Largura externa total da seção: \,360\\ \text{mm} (pois \,30+300+30=360).
  • Altura da abertura interna (entre topo e base): \,140\\ \text{mm} (pois \,200-30-30=140).

Passo 2

Estratégia de resolução (método escolhido e por quê):
  • A seção é simétrica em relação aos eixos centroidais x e y, logo o centroide coincide com o centro geométrico; não há deslocamentos a aplicar (não precisamos usar o teorema dos eixos paralelos).
  • Método: considerar a seção como um retângulo maciço externo menos um retângulo interno (vazio). Assim: I_x = I_{x,\text{externo}} - I_{x,\text{interno}},\qquad I_y = I_{y,\text{externo}} - I_{y,\text{interno}}.
  • Fórmulas padrão para o momento de inércia de um retângulo em torno dos eixos centrais: I_x(\text{retângulo})=\frac{b\,h^{3}}{12},\qquad I_y(\text{retângulo})=\frac{h\,b^{3}}{12},ââonde:
    • b é a largura do retângulo (dimensão na direção y fixa ao calcular I_x? aqui adotamos: para I_x a base é a dimensão horizontal b, e a altura é a dimensão vertical h);
    • h é a altura do retângulo (dimensão vertical);
    • Unidades: se b e h estão em \,\text{mm}, então I será em \,\text{mm}^4.
Comentário didático rápido sobre a fórmula:
  • A fórmula \dfrac{b h^3}{12} vem da integração da distribuição de área em relação ao eixo neutro horizontal: mais distância (termo h^3) eleva fortemente a contribuição para I_x. Por isso peças altas têm grande I_x.

Passo 3

Definir as dimensões dos retângulos usado na decomposição:
  • Retângulo externo: largura \,b_{\text{ext}}=360\\ \text{mm}, altura \,h_{\text{ext}}=200\\ \text{mm}.
  • Retângulo interno (vazio): largura \,b_{\text{int}}=300\\ \text{mm}, altura \,h_{\text{int}}=140\\ \text{mm}.
(estas dimensões foram obtidas a partir dos valores listados no Passo 1)

Passo 4

Cálculo de I_x (momento em relação ao eixo horizontal centroidal):
  • Momento de inércia do retângulo externo em torno de seu eixo horizontal central: I_{x,\text{ext}}=\frac{b_{\text{ext}}\,h_{\text{ext}}^{3}}{12} =\frac{360\cdot(200)^{3}}{12}.Calculo passo a passo: (200)^{3}=200\cdot200\cdot200=8\,000\,000,
360\cdot 8\,000\,000=2\,880\,000\,000,
I_{x,\text{ext}}=\frac{2\,880\,000\,000}{12}=240\,000\,000\\ \text{mm}^{4}.
  • Momento de inércia do retângulo interno (vazio) em torno do mesmo eixo: I_{x,\text{int}}=\frac{b_{\text{int}}\,h_{\text{int}}^{3}}{12} =\frac{300\cdot(140)^{3}}{12}.Calculo passo a passo: (140)^{3}=140\cdot140\cdot140=2\,744\,000,
300\cdot 2\,744\,000=823\,200\,000,
I_{x,\text{int}}=\frac{823\,200\,000}{12}=68\,600\,000\\ \text{mm}^{4}.
  • Subtraindo para obter o momento da seção oca: I_x = I_{x,\text{ext}}-I_{x,\text{int}} =240\,000\,000-68\,600\,000=171\,400\,000\\ \text{mm}^{4}.
  • Arredondamento: \,171\,400\,000\\ \text{mm}^{4}\approx 171\times10^{6}\\ \text{mm}^{4} (valor fornecido na resposta do enunciado é \,171\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}).

Passo 5

Cálculo de I_y (momento em relação ao eixo vertical centroidal):
  • Momento de inércia do retângulo externo: I_{y,\text{ext}}=\frac{h_{\text{ext}}\,b_{\text{ext}}^{3}}{12} =\frac{200\cdot(360)^{3}}{12}.Cálculo: (360)^{3}=360\cdot360\cdot360=46\,656\,000,
200\cdot46\,656\,000=9\,331\,200\,000,
I_{y,\text{ext}}=\frac{9\,331\,200\,000}{12}=777\,600\,000\\ \text{mm}^{4}.
  • Momento de inércia do retângulo interno (vazio): I_{y,\text{int}}=\frac{h_{\text{int}}\,b_{\text{int}}^{3}}{12} =\frac{140\cdot(300)^{3}}{12}.Cálculo: (300)^{3}=27\,000\,000,
140\cdot27\,000\,000=3\,780\,000\,000,
I_{y,\text{int}}=\frac{3\,780\,000\,000}{12}=315\,000\,000\\ \text{mm}^{4}.
  • Subtraindo: I_y = I_{y,\text{ext}}-I_{y,\text{int}} =777\,600\,000-315\,000\,000=462\,600\,000\\ \text{mm}^{4}.
  • Arredondamento: \,462\,600\,000\\ \text{mm}^{4}\approx 463\times10^{6}\\ \text{mm}^{4} (valor fornecido na resposta do enunciado é \,463\times10^{6}\\ \text{mm}^{4}).

Passo 6

Resumo final dos resultados calculados (com uma palavra de incentivo):
  • Pronto! Decompondo a seção em um retângulo externo menos o retângulo interno e usando as fórmulas padrão ficou direto — é sempre essa técnica nas seções ocas retangulares. Vai dar certo na prova, respira e confia no método.

Resposta

\displaystyle I_{x}=171\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^{4}\n
\displaystyle I_{y}=463\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^{4}

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