(a) Determine o momento de inércia de uma esfera maciça e homogênea de massa M e raio R, considerando a rotação em torno de um diâmetro. (b) Qual seria o momento de inércia se a esfera, de mesma massa e raio, fosse ôca? © Qual dessas esferas é mais fácil de colocar em rotação? Explique.

Passo 1

Beleza, o exercício tá assim:
a) Calcular o momento de inércia (I) de uma esfera maciça e homogênea (massa M, raio R) girando em torno de um diâmetro.
b) Fazer a mesma coisa pra esfera oca (mesma M e R).
c) Dizer qual das duas é mais fácil de girar e por quê.
Conteúdo envolvido: momento de inércia em mecânica (distribuição de massa, integrais) e fórmula de momentos de inércia de cascas esféricas.
O que vamos precisar:
  • Entender densidade volumétrica (ρ = M / volume).
  • Saber momentinho de inércia de uma casca esférica fina: .
  • Fazer integral de 0 até R pra agregar todas as cascas na esfera maciça.

Passo 2

Teoria rapidinha: momento de inércia é uma “resistência” à rotação e, pra corpos contínuos, a gente usa
I = integral r^2,dm,
onde dm = rho,dV = rho,(4pi r^2,dr), é a distância de cada pedacinho de massa ao eixo de rotação, e é a massa desse pedacinho.
No caso da esfera maciça, a gente imagina ela como várias cascas esféricas finas de raio variável . Cada casca tem massa
com .

Passo 3

Usando o fato de que o momento de inércia de cada casca fina em torno do diâmetro é
dI = 23,r^2,dm,
substituímos dI = 23,r^2;rho;(4pi r^2,dr) = 83pi,rho,r^4,dr :
Irm maciça = integral0^R 83pi,rho,r^4,dr = 83pi,rho;R^55 = 8pirho R^515
Agora integramos de Irm maciça = 8pi15,l(3M4pi R^3r),R^5 = 25,M,R^2 até :
ç
Como , fica
ç

Passo 4

Pra esfera oca (casca fina de raio Irm oca = 23,M,R^2 e massa total ), a gente já sabe direto:

Passo 5

Comparando os valores:
Irm maciça = 25MR^2 e Irm oca = 23MR^2 ç
Como , a esfera maciça tem menor momento de inércia.
Menor significa menos “resistência” pra girar, ou seja, dá pra acelerar a rotação dela com menos torque.

Resposta

a) ç.
b) .
c) A esfera maciça é mais fácil de colocar em rotação, pois seu momento de inércia ( ) é menor que o da oca ( ).

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