(a) Determine o momento de inércia de uma esfera maciça e homogênea de massa
e raio
, considerando a rotação em torno de um diâmetro. (b) Qual seria o momento de inércia se a esfera, de mesma massa e raio, fosse ôca? © Qual dessas esferas é mais fácil de colocar em rotação? Explique.
Passo 1
Beleza, o exercício tá assim:
a) Calcular o momento de inércia (I) de uma esfera maciça e homogênea (massa M, raio R) girando em torno de um diâmetro.
b) Fazer a mesma coisa pra esfera oca (mesma M e R).
c) Dizer qual das duas é mais fácil de girar e por quê.
a) Calcular o momento de inércia (I) de uma esfera maciça e homogênea (massa M, raio R) girando em torno de um diâmetro.
b) Fazer a mesma coisa pra esfera oca (mesma M e R).
c) Dizer qual das duas é mais fácil de girar e por quê.
Conteúdo envolvido: momento de inércia em mecânica (distribuição de massa, integrais) e fórmula de momentos de inércia de cascas esféricas.
O que vamos precisar:
- Entender densidade volumétrica (ρ = M / volume).
- Saber momentinho de inércia de uma casca esférica fina:
. - Fazer integral de 0 até R pra agregar todas as cascas na esfera maciça.
Passo 2
Teoria rapidinha: momento de inércia é uma “resistência” à rotação e, pra corpos contínuos, a gente usa
onde
é a distância de cada pedacinho de massa ao eixo de rotação, e
é a massa desse pedacinho.
No caso da esfera maciça, a gente imagina ela como várias cascas esféricas finas de raio variável
. Cada casca tem massa
com
.
Passo 3
Usando o fato de que o momento de inércia de cada casca fina em torno do diâmetro é
substituímos
:
Agora integramos de
até
:
Como
, fica
Passo 4
Pra esfera oca (casca fina de raio
e massa total
), a gente já sabe direto:
Passo 5
Comparando os valores:
Como
, a esfera maciça tem menor momento de inércia.
Menor
significa menos “resistência” pra girar, ou seja, dá pra acelerar a rotação dela com menos torque.
Resposta
a)
.
b) .
c) A esfera maciça é mais fácil de colocar em rotação, pois seu momento de inércia ( ) é menor que o da oca (
).
b)
c) A esfera maciça é mais fácil de colocar em rotação, pois seu momento de inércia (