Desenvolva o produto escalar
, e use os resultados obtidos para demonstrar a identidade
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o produto escalar entre dois vetores
e
no plano, cujas direções são dadas pelos ângulos
e
. Em seguida, usar esse cálculo pra provar a identidade trigonométrica
Conteúdo envolvido: definição de produto escalar em coordenadas cartesianas, interpretação geométrica do produto escalar, vetores unitários no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os vetores em coordenadas. Como cada vetor tem direção
e módulo 1 (vetor unitário), podemos escrever:
Aqui usamos a ideia de que qualquer vetor unitário no plano formado por um ângulo
com o eixo
tem essas componentes.
Passo 3
Agora, o produto escalar em coordenadas é dado por
Isso vem diretamente da definição: se
e
, então
.
Passo 4
Por outro lado, a fórmula geométrica do produto escalar diz que
onde
é o ângulo entre os vetores. Como
e
são unitários (
), isso vira
E note que o ângulo entre eles é
.
Passo 5
Agora, é só igualar as duas expressões para o produto escalar: