Desenvolva o produto escalar P1 cdot P2, e use os resultados obtidos para demonstrar a identidade cos (theta1-theta2)=cos theta1 cos theta2+sen theta1 sen theta2.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o produto escalar entre dois vetores
cos(theta1 - theta2) = costheta1,costheta2 + sentheta1,sentheta2 e no plano, cujas direções são dadas pelos ângulos e . Em seguida, usar esse cálculo pra provar a identidade trigonométrica
Conteúdo envolvido: definição de produto escalar em coordenadas cartesianas, interpretação geométrica do produto escalar, vetores unitários no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os vetores em coordenadas. Como cada vetor tem direção P1 = (costheta1,;sentheta1), P2 = (costheta2,;sentheta2) e módulo 1 (vetor unitário), podemos escrever:
Aqui usamos a ideia de que qualquer vetor unitário no plano formado por um ângulo com o eixo tem essas componentes.

Passo 3

Agora, o produto escalar em coordenadas é dado por
P1cdotP2 = (costheta1),(costheta2) + (sentheta1),(sentheta2)
Isso vem diretamente da definição: se e , então .

Passo 4

Por outro lado, a fórmula geométrica do produto escalar diz que
P1cdotP2 = |P1|;|P2|;cosphi,
onde P1cdotP2 = 1cdot1cdotcosphi = cosphi é o ângulo entre os vetores. Como e são unitários ( ), isso vira
E note que o ângulo entre eles é .

Passo 5

Agora, é só igualar as duas expressões para o produto escalar:
cos(theta1 - theta2) = P1cdotP2 = costheta1,costheta2 + sentheta1,sentheta2

Resposta

boxedcos(theta1 - theta2) = costheta1,costheta2 + sentheta1,sentheta2

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