Desenvolva o produto escalar 
 , e use os resultados obtidos para demonstrar a identidade 
 .
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o produto escalar entre dois vetores
  e 
  no plano, cujas direções são dadas pelos ângulos 
  e 
 . Em seguida, usar esse cálculo pra provar a identidade trigonométrica
Conteúdo envolvido: definição de produto escalar em coordenadas cartesianas, interpretação geométrica do produto escalar, vetores unitários no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os vetores em coordenadas. Como cada vetor tem direção 
  e módulo 1 (vetor unitário), podemos escrever:
Aqui usamos a ideia de que qualquer vetor unitário no plano formado por um ângulo 
  com o eixo 
  tem essas componentes.
Passo 3
Agora, o produto escalar em coordenadas é dado por
Isso vem diretamente da definição: se 
  e 
 , então 
 .
Passo 4
Por outro lado, a fórmula geométrica do produto escalar diz que
onde 
  é o ângulo entre os vetores. Como 
  e 
  são unitários (
 ), isso vira
E note que o ângulo entre eles é 
 .
Passo 5
Agora, é só igualar as duas expressões para o produto escalar: