Determine os momentos polares de inércia da área semicircular em relação aos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine os momentos polares de inércia da área semicircular em relação aos pontos
e
.”
Informações/assunções que vou usar (o enunciado não trouxe figura, então assumo a configuração padrão): a área é uma semicircunferência de raio , com o diâmetro ao longo do eixo
entre os pontos
e
. Ou seja,
e
são as extremidades do diâmetro, localizadas em
e
. A semicircunferência está acima do eixo
(região
).
Perguntas que preciso responder: calcular o momento polar de inércia da área (isto é, ) em relação ao ponto
e em relação ao ponto
.
Informações/assunções que vou usar (o enunciado não trouxe figura, então assumo a configuração padrão): a área é uma semicircunferência de raio
Perguntas que preciso responder: calcular o momento polar de inércia da área (isto é,
Passo 2
Vou organizar os dados geométricos básicos da semicircunferência e fórmulas que usarei:
A área da semicircunferência é
A área da semicircunferência é
O centróide da semicircunferência fica sobre o eixo de simetria (eixo
), a uma distância clássica do diâmetro dada por
Aqui
é a coordenada
do centróide medida a partir do diâmetro (e do eixo
que passa pelos pontos
e
).
Passo 3
Explico o que é momento polar de inércia e a ferramenta que vou usar: o momento polar de inércia em relação a um ponto
é
Uma ferramenta muito útil é que o momento polar em relação a um ponto pode ser obtido somando os momentos de inércia planas (respectivamente nos eixos
e
) com origem nesse ponto:
Também usarei o teorema dos eixos paralelos (para áreas): se conhecemos um momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centróide, o momento em relação a um eixo paralelo deslocado de distância
é
onde
é a área e
a distância entre eixos.
Passo 4
Vou achar primeiro os momentos de inércia planos centrais (no centróide) necessários. É prático trabalhar com o eixo
ao longo do diâmetro (eixo
em
) e com o eixo
de simetria em
.
Momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo diâmetro (eixo
em
): como esse eixo coincide com o eixo do círculo completo, o momento para a semicircunferência é metade do momento do disco completo sobre o mesmo eixo. O momento do disco completo (raio
) em relação a um eixo diametral é
; portanto, para a semicircunferência, o momento em relação ao eixo no diâmetro é
Agora, o eixo horizontal que nos interessa muitas vezes é o que passa pelo centróide (eixo
em
). Aplicamos o teorema dos eixos paralelos, deslocando do eixo do diâmetro até o eixo pelo centróide (distância
):
Explico: o eixo do diâmetro está a uma distância
do eixo que passa pelo centróide (o eixo do diâmetro fica “abaixo” do eixo centrodal), e pela relação
. Substituindo
,
e
, temos:
calculemos :
calculemos
Logo
Aqui
é o momento em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide.
Passo 5
Momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (eixo
em
): por simetria a semicircunferência tem o mesmo eixo
passando pelo centro do círculo e pelo centróide (ambos estão em
). Assim o momento em relação ao eixo vertical pelo centróide é metade do momento do disco completo sobre esse eixo:
(Explicando: o disco completo tem
e a semicircunferência é exatamente metade da área do disco distribuída simetricamente em relação a esse eixo, portanto metade do momento.)
Passo 6
O momento polar de inércia em torno do centróide (soma dos momentos planos centrais) é
Passo 7
Agora preciso do momento polar em relação ao ponto
(ou
). Como
e
estão nas extremidades do diâmetro em
e
, a distância entre o centróide
e
(ou
) vale
Substituindo
:
Passo 8
Aplicando o teorema dos eixos paralelos para o momento polar (versão para polos): o momento polar em relação a
(ou
) é
Substituindo
,
e
, obtemos:
Observe que os termos
e
se cancelam, restando
Por simetria o momento polar em relação a
é igual: