Determine os momentos polares de inércia da área semicircular em relação aos pontos A e B.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os momentos polares de inércia da área semicircular em relação aos pontos A e B.”
Informações/assunções que vou usar (o enunciado não trouxe figura, então assumo a configuração padrão): a área é uma semicircunferência de raio R, com o diâmetro ao longo do eixo x entre os pontos A e B. Ou seja, A e B são as extremidades do diâmetro, localizadas em (-R,0) e (R,0). A semicircunferência está acima do eixo x (região y\ge 0).
Perguntas que preciso responder: calcular o momento polar de inércia da área (isto é, \displaystyle J_P=\int r_P^{2}\,dA) em relação ao ponto A e em relação ao ponto B.

Passo 2

Vou organizar os dados geométricos básicos da semicircunferência e fórmulas que usarei:
A área da semicircunferência é
A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2}.
O centróide da semicircunferência fica sobre o eixo de simetria (eixo y), a uma distância clássica do diâmetro dada por
\bar{y}=\frac{4R}{3\pi}.
Aqui \bar{y} é a coordenada y do centróide medida a partir do diâmetro (e do eixo x que passa pelos pontos A e B).

Passo 3

Explico o que é momento polar de inércia e a ferramenta que vou usar: o momento polar de inércia em relação a um ponto P é
J_{P}=\iint (x-x_P)^{2}+(y-y_P)^{2}\;dA = \iint r_{P}^{2}\,dA.
Uma ferramenta muito útil é que o momento polar em relação a um ponto pode ser obtido somando os momentos de inércia planas (respectivamente nos eixos x e y) com origem nesse ponto:
J_{P}=I_{x,P}+I_{y,P}.
Também usarei o teorema dos eixos paralelos (para áreas): se conhecemos um momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centróide, o momento em relação a um eixo paralelo deslocado de distância d é
I_{\text{novo}}=I_{\text{centroide}}+A d^{2},
onde A é a área e d a distância entre eixos.

Passo 4

Vou achar primeiro os momentos de inércia planos centrais (no centróide) necessários. É prático trabalhar com o eixo x ao longo do diâmetro (eixo x em y=0) e com o eixo y de simetria em x=0.
Momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo diâmetro (eixo x em y=0): como esse eixo coincide com o eixo do círculo completo, o momento para a semicircunferência é metade do momento do disco completo sobre o mesmo eixo. O momento do disco completo (raio R) em relação a um eixo diametral é \displaystyle \frac{\pi R^{4}}{4}; portanto, para a semicircunferência, o momento em relação ao eixo no diâmetro é
I_{x,\text{diâmetro}}=\frac{\pi R^{4}}{8}.â
Agora, o eixo horizontal que nos interessa muitas vezes é o que passa pelo centróide (eixo x em y=\bar{y}). Aplicamos o teorema dos eixos paralelos, deslocando do eixo do diâmetro até o eixo pelo centróide (distância d=\bar{y}):
I_{x,G}=I_{x,\text{diâmetro}}-A\bar{y}^{2}.â
Explico: o eixo do diâmetro está a uma distância \bar{y} do eixo que passa pelo centróide (o eixo do diâmetro fica “abaixo” do eixo centrodal), e pela relação I_{\text{diâmetro}}=I_{x,G}+A\bar{y}^{2}â. Substituindo I_{x,\text{diâmetro}}=\frac{\pi R^{4}}{8}â, A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2} e \bar{y}=\tfrac{4R}{3\pi}, temos:
calculemos A\bar{y}^{2}:
A\bar{y}^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\left(\frac{4R}{3\pi}\right)^{2} =\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\cdot\frac{16R^{2}}{9\pi^{2}} =\frac{8R^{4}}{9\pi}.
Logo
I_{x,G}=\frac{\pi R^{4}}{8}-\frac{8R^{4}}{9\pi}.
Aqui I_{x,G} é o momento em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide.

Passo 5

Momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centróide (eixo y em x=0): por simetria a semicircunferência tem o mesmo eixo y passando pelo centro do círculo e pelo centróide (ambos estão em x=0). Assim o momento em relação ao eixo vertical pelo centróide é metade do momento do disco completo sobre esse eixo:
I_{y,G}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi R^{4}}{4}=\frac{\pi R^{4}}{8}.
(Explicando: o disco completo tem I_y=\frac{\pi R^4}{4} e a semicircunferência é exatamente metade da área do disco distribuída simetricamente em relação a esse eixo, portanto metade do momento.)

Passo 6

O momento polar de inércia em torno do centróide (soma dos momentos planos centrais) é
J_{G}=I_{x,G}+I_{y,G} =\left(\frac{\pi R^{4}}{8}-\frac{8R^{4}}{9\pi}\right)+\frac{\pi R^{4}}{8} =\frac{\pi R^{4}}{4}-\frac{8R^{4}}{9\pi}.

Passo 7

Agora preciso do momento polar em relação ao ponto A (ou B). Como A e B estão nas extremidades do diâmetro em (-R,0) e (R,0), a distância entre o centróide (0,\bar{y}) e A (ou B) vale
d^{2}=(-R-0)^{2}+(0-\bar{y})^{2}=R^{2}+\bar{y}^{2}.
Substituindo \bar{y}=\tfrac{4R}{3\pi}:
d^{2}=R^{2}+\left(\frac{4R}{3\pi}\right)^{2} =R^{2}\left(1+\frac{16}{9\pi^{2}}\right).

Passo 8

Aplicando o teorema dos eixos paralelos para o momento polar (versão para polos): o momento polar em relação a A (ou B) é
J_{A}=J_{G}+A\,d^{2}.
Substituindo J_{G}=\frac{\pi R^{4}}{4}-\frac{8R^{4}}{9\pi}, A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2} e d^{2}=R^{2}\left(1+\tfrac{16}{9\pi^{2}}\right), obtemos:
\begin{aligned} J_{A} &=\left(\frac{\pi R^{4}}{4}-\frac{8R^{4}}{9\pi}\right) +\left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)\left(R^{2}\left(1+\frac{16}{9\pi^{2}}\right)\right)\\[4pt] &=\frac{\pi R^{4}}{4}-\frac{8R^{4}}{9\pi} +\frac{1}{2}\pi R^{4}+\frac{8R^{4}}{9\pi}. \end{aligned}
Observe que os termos -\dfrac{8R^{4}}{9\pi} e +\dfrac{8R^{4}}{9\pi} se cancelam, restando
J_{A}=\frac{\pi R^{4}}{4}+\frac{1}{2}\pi R^{4}=\frac{3\pi R^{4}}{4}.
Por simetria o momento polar em relação a B é igual:
J_{B}=\frac{3\pi R^{4}}{4}.]

Resposta

J_{A}=\dfrac{3\pi R^{4}}{4}
J_{B}=\dfrac{3\pi R^{4}}{4}

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