O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3.)
7.138
-600 \mu

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a direção e a intensidade das deformações principais;
  • (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (ou seja, no plano da placa);
  • (c) a deformação de cisalhamento máxima (no sentido 3D, considerando a deformação fora do plano também).
Informações dadas no enunciado que eu consigo identificar: foi informado o valor de Poisson \nu = 1/3. Há também a cadeia de caracteres "7.138 -600 \mu" mas isso está ambíguo: não está claro se esses números representam \varepsilon_x, \varepsilon_y, \gamma_{xy} ou algo na figura que não foi transmitida.
Informações que faltam (essenciais para resolver o problema): os três componentes de deformação medidos na superfície da placa que definem o estado plano de deformação, isto é:
  • \varepsilon_x (deformação normal na direção x);
  • \varepsilon_y (deformação normal na direção y);
  • \gamma_{xy} (deformação de cisalhamento de engenharia no plano xy).
Sem estes três valores numéricos claros, não é possível calcular numericamente as quantidades pedidas. A seguir eu mostro passo a passo exatamente o que faria (e como calcular) assim que os dados claros forem fornecidos.

Passo 2

Condição de superfície livre (plane stress) e \varepsilon_{zz}.
Explicação física curta: na superfície livre de uma placa fina temos \sigma_z=0 (tensão normal no eixo z igual a zero). Usando as relações elásticas lineares para um material isotrópico (Lei de Hooke em 3D), a deformação no eixo z vem dada por deslocamento elástico devido às deformações no plano x- y. A fórmula é
\varepsilon_z = -\nu\left(\varepsilon_x + \varepsilon_y\right),
onde
  • \varepsilon_z é a deformação normal na direção z (out-of-plane),
  • \nu é o coeficiente de Poisson (aqui \nu=1/3),
  • \varepsilon_x,\varepsilon_y são as deformações normais no plano.
Comentário didático: essa fórmula surge porque \sigma_z=0 e, invertendo as equações de Hooke para deformação em função das tensões, \varepsilon_z fica proporcional a -\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y). Em provas, normalmente você aplica direto essa fórmula quando a placa está em condição de plane stress.

Passo 3

Equações de transformação de deformações (ferramenta para achar direções principais).
As equações de transformação para um ângulo \theta (rotacionando eixos no plano) são
\varepsilon_{x'}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos(2\theta)+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta),
\varepsilon_{y'}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}-\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos(2\theta)-\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta),
\gamma_{x'y'}=-(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin(2\theta)+\gamma_{xy}\cos(2\theta).
O que essas fórmulas dizem, em palavras simples: se você girar os eixos em relação ao estado de deformação, as componentes das deformações mudam conforme essas expressões trigonométricas. As variáveis significam:
  • \theta é o ângulo de rotação do eixo x (positivo sentido anti-horário);
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia ( \gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy} se estiver usando tensões/ deformações tensoriais; aqui usamos a forma usual de engenharia).
Didática prática: para encontrar as direções principais você quer o ângulo \theta que zera \gamma_{x'y'} (ou seja, onde não há cisalhamento), porque os eixos principais são os eixos onde as componentes de cisalhamento são nulas.

Passo 4

Fórmulas para as deformações principais ( \varepsilon_1,\varepsilon_2) e direção principal \theta_p.
A condição \gamma_{x'y'}=0 leva a
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Notas importantes sobre essa fórmula:
  • compute \theta_p como \theta_p=\tfrac{1}{2}\operatorname{atan2}\!\big(\gamma_{xy},\,\varepsilon_x-\varepsilon_y\big) para cuidar da quadrante correto (em prova, explique o sinal e, se necessário, some 90^\circ para a outra direção principal).
  • As direções principais são duas e são ortogonais (se uma é \theta_p, a outra é \theta_p+90^\circ).
As deformações principais (valores, não direções) são dadas por
\varepsilon_{1,2}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
Interpretação:
  • o termo \dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} é a média das deformações normais;
  • o radical é a magnitude da variação devido à diferença entre \varepsilon_x e \varepsilon_y e ao cisalhamento \gamma_{xy}.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver a aplicação): se \varepsilon_x=1000\times10^{-6}, \varepsilon_y=200\times10^{-6}, \gamma_{xy}=300\times10^{-6}, então se aplicaria a fórmula acima (vou calcular assim que você confirmar os dados reais).

Passo 5

Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (isto é, dentro do plano xy).
A máxima deformação de cisalhamento de engenharia no plano (magnitude) é
\gamma_{\max,\text{plano}} = 2\cdot\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}
ou equivalentemente
\gamma_{\max,\text{plano}} = |\varepsilon_1-\varepsilon_2|.
Observações:
  • se você já tiver \varepsilon_1 e \varepsilon_2, a diferença absoluta dá a máxima deformação de cisalhamento (engenharia) no plano, porque a máxima ocorre em planos a 45^\circ das direções principais.
  • note que em muitas referências a “deformação de cisalhamento” usa-se \gamma (engenharia). O módulo acima é um valor positivo.

Passo 6

Deformação de cisalhamento máxima em 3D (considerando \varepsilon_z).
Procedimento:
  1. Calcule \varepsilon_z pela fórmula do Passo 2: \varepsilon_z=-\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y).
  2. Agora você tem as três deformações principais finais (seu conjunto de “autovalores” da deformação em 3D) que, para plane stress, são \varepsilon_1,\varepsilon_2 (do plano) e \varepsilon_3=\varepsilon_z.
  3. A máxima deformação de cisalhamento tridimensional (engenharia) é metade da maior diferença entre quaisquer duas deformações principais:
\gamma_{\max,3D} = \max\left\{\frac{|\varepsilon_1-\varepsilon_2|}{1},\,\frac{|\varepsilon_2-\varepsilon_3|}{1},\,\frac{|\varepsilon_3-\varepsilon_1|}{1}\right\}.
(Na notação de engenharia muitas vezes se escreve o valor absoluto da diferença; se quiser a expressão como “shear strain” tradicional 3D, o valor efetivo de cisalhamento máximo é igual a qualquer uma dessas diferenças dividida por 1, e às vezes as pessoas escrevem \tau_{\max} em tensões; aqui estamos tratando de deformações, então a máxima deformação de cisalhamento é \dfrac{1}{2} da diferença entre autovalores caso estivesse usando distorção tensorial — atenção à convenção: para engenharia de deformação, a variação usual é usar \gamma_{max} = \varepsilon_{max} - \varepsilon_{min} dependendo da definição; a forma robusta é calcular todas as diferenças |\varepsilon_i-\varepsilon_j|/1 e tomar a maior).
Comentário prático e forma consistente para provas: muitas vezes se usa
\text{máx. cisalhamento 3D} = \frac{1}{2}\max\{|\varepsilon_1-\varepsilon_2|,\,|\varepsilon_2-\varepsilon_3|,\,|\varepsilon_3-\varepsilon_1|\}.á
Eu recomendo usar esta forma e especificar claramente se está pedindo a “deformação de cisalhamento de engenharia” (usando \gamma) ou a “componente do tensor” — na maioria das provas de resistência dos materiais/elasticidade, a forma com \tfrac{1}{2} é pedida.

Passo 7

Resumo do algoritmo de cálculo (passo a passo que você pode seguir na prova assim que tiver os números):
  1. Anote \varepsilon_x,\varepsilon_y,\gamma_{xy} (valores numéricos).
  2. Calcule \varepsilon_z = -\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y) (usar \nu=1/3 conforme enunciado).
  3. Calcule \theta_p com \tan(2\theta_p)=\dfrac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}. Use \theta_p=\tfrac{1}{2}\operatorname{atan2}(\gamma_{xy},\varepsilon_x-\varepsilon_y) para quadrante correto.
  4. Calcule \varepsilon_{1,2}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
  5. A deformação de cisalhamento máxima no plano é \gamma_{\max,\text{plano}}=|\varepsilon_1-\varepsilon_2|.
  6. A deformação de cisalhamento máxima 3D é \gamma_{\max,3D}=\dfrac{1}{2}\max\{|\varepsilon_1-\varepsilon_2|,\,|\varepsilon_2-\varepsilon_3|,\,|\varepsilon_3-\varepsilon_1|\} com \varepsilon_3=\varepsilon_z.

Passo 8

Por que eu não dei números finais: o enunciado enviado veio truncado/ambíguo. Sem saber exatamente quais são \varepsilon_x,\varepsilon_y,\gamma_{xy} (ou sem a figura com os valores), não posso calcular numericamente as deformações principais nem as cisalhantes. Se você confirmar os três componentes de deformação na superfície da placa — isto é, fornecer claramente \varepsilon_x, \varepsilon_y e \gamma_{xy} (por exemplo em unidades de microstrain: \mu\varepsilon) — eu aplico imediatamente os passos acima e te devolvo:
  • as direções \theta_p (em graus) e os valores \varepsilon_1,\varepsilon_2,
  • a \gamma_{\max,\text{plano}},
  • e a \gamma_{\max,3D},
    com contas detalhadas, todas as etapas e comentários didáticos para você entender e repetir na prova.
Vai dar certo — manda os valores claros que eu resolvo já e te explico cada número.

Resposta

Não é possível fornecer as respostas numéricas porque os componentes de deformação \varepsilon_x, \varepsilon_y e \gamma_{xy} não foram informados de forma clara no enunciado (aparecem apenas os caracteres ambíguos "7.138 -600 \mu"). Por favor, envie os valores de \varepsilon_x, \varepsilon_y e \gamma_{xy} (com unidades) para que eu calcule (a), (b) e (c) seguindo os passos acima.

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