O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use
.)
7.138
7.138
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) a direção e a intensidade das deformações principais;
- (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (ou seja, no plano da placa);
- (c) a deformação de cisalhamento máxima (no sentido 3D, considerando a deformação fora do plano também).
Informações dadas no enunciado que eu consigo identificar: foi informado o valor de Poisson
. Há também a cadeia de caracteres "7.138 -600
" mas isso está ambíguo: não está claro se esses números representam
,
,
ou algo na figura que não foi transmitida.
Informações que faltam (essenciais para resolver o problema): os três componentes de deformação medidos na superfície da placa que definem o estado plano de deformação, isto é:
Informações que faltam (essenciais para resolver o problema): os três componentes de deformação medidos na superfície da placa que definem o estado plano de deformação, isto é:
-
(deformação normal na direção ); -
(deformação normal na direção ); -
(deformação de cisalhamento de engenharia no plano ).
Sem estes três valores numéricos claros, não é possível calcular numericamente as quantidades pedidas. A seguir eu mostro passo a passo exatamente o que faria (e como calcular) assim que os dados claros forem fornecidos.
Passo 2
Condição de superfície livre (plane stress) e
.
Explicação física curta: na superfície livre de uma placa fina temos
(tensão normal no eixo
igual a zero). Usando as relações elásticas lineares para um material isotrópico (Lei de Hooke em 3D), a deformação no eixo
vem dada por deslocamento elástico devido às deformações no plano
-
. A fórmula é
onde
-
é a deformação normal na direção (out-of-plane), -
é o coeficiente de Poisson (aqui ), -
são as deformações normais no plano.
Comentário didático: essa fórmula surge porque
e, invertendo as equações de Hooke para deformação em função das tensões,
fica proporcional a
. Em provas, normalmente você aplica direto essa fórmula quando a placa está em condição de plane stress.
Passo 3
Equações de transformação de deformações (ferramenta para achar direções principais).
As equações de transformação para um ângulo
(rotacionando eixos no plano) são
O que essas fórmulas dizem, em palavras simples: se você girar os eixos em relação ao estado de deformação, as componentes das deformações mudam conforme essas expressões trigonométricas. As variáveis significam:
-
é o ângulo de rotação do eixo (positivo sentido anti-horário); -
é a deformação de cisalhamento de engenharia ( se estiver usando tensões/ deformações tensoriais; aqui usamos a forma usual de engenharia).
Didática prática: para encontrar as direções principais você quer o ângulo
que zera
(ou seja, onde não há cisalhamento), porque os eixos principais são os eixos onde as componentes de cisalhamento são nulas.
Passo 4
Fórmulas para as deformações principais (
) e direção principal
.
A condição
leva a
Notas importantes sobre essa fórmula:
- compute
como para cuidar da quadrante correto (em prova, explique o sinal e, se necessário, some para a outra direção principal). - As direções principais são duas e são ortogonais (se uma é
, a outra é ).
As deformações principais (valores, não direções) são dadas por
Interpretação:
- o termo
é a média das deformações normais; - o radical é a magnitude da variação devido à diferença entre
e e ao cisalhamento .
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver a aplicação): se
,
,
, então se aplicaria a fórmula acima (vou calcular assim que você confirmar os dados reais).
Passo 5
Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (isto é, dentro do plano
).
A máxima deformação de cisalhamento de engenharia no plano (magnitude) é
ou equivalentemente
Observações:
- se você já tiver
e , a diferença absoluta dá a máxima deformação de cisalhamento (engenharia) no plano, porque a máxima ocorre em planos a das direções principais. - note que em muitas referências a “deformação de cisalhamento” usa-se
(engenharia). O módulo acima é um valor positivo.
Passo 6
Deformação de cisalhamento máxima em 3D (considerando
).
Procedimento:
- Calcule
pela fórmula do Passo 2: . - Agora você tem as três deformações principais finais (seu conjunto de “autovalores” da deformação em 3D) que, para plane stress, são
(do plano) e . - A máxima deformação de cisalhamento tridimensional (engenharia) é metade da maior diferença entre quaisquer duas deformações principais:
(Na notação de engenharia muitas vezes se escreve o valor absoluto da diferença; se quiser a expressão como “shear strain” tradicional 3D, o valor efetivo de cisalhamento máximo é igual a qualquer uma dessas diferenças dividida por 1, e às vezes as pessoas escrevem
em tensões; aqui estamos tratando de deformações, então a máxima deformação de cisalhamento é
da diferença entre autovalores caso estivesse usando distorção tensorial — atenção à convenção: para engenharia de deformação, a variação usual é usar
dependendo da definição; a forma robusta é calcular todas as diferenças
e tomar a maior).
Comentário prático e forma consistente para provas: muitas vezes se usa
Eu recomendo usar esta forma e especificar claramente se está pedindo a “deformação de cisalhamento de engenharia” (usando
) ou a “componente do tensor” — na maioria das provas de resistência dos materiais/elasticidade, a forma com
é pedida.
Passo 7
Resumo do algoritmo de cálculo (passo a passo que você pode seguir na prova assim que tiver os números):
- Anote
(valores numéricos). - Calcule
(usar conforme enunciado). - Calcule
com . Use para quadrante correto. - Calcule
. - A deformação de cisalhamento máxima no plano é
. - A deformação de cisalhamento máxima 3D é
com .
Passo 8
Por que eu não dei números finais: o enunciado enviado veio truncado/ambíguo. Sem saber exatamente quais são
(ou sem a figura com os valores), não posso calcular numericamente as deformações principais nem as cisalhantes. Se você confirmar os três componentes de deformação na superfície da placa — isto é, fornecer claramente
,
e
(por exemplo em unidades de microstrain:
) — eu aplico imediatamente os passos acima e te devolvo:
- as direções
(em graus) e os valores , - a
, - e a
,
com contas detalhadas, todas as etapas e comentários didáticos para você entender e repetir na prova.
Vai dar certo — manda os valores claros que eu resolvo já e te explico cada número.
Resposta
Não é possível fornecer as respostas numéricas porque os componentes de deformação
,
e
não foram informados de forma clara no enunciado (aparecem apenas os caracteres ambíguos "7.138 -600
"). Por favor, envie os valores de
,
e
(com unidades) para que eu calcule (a), (b) e (c) seguindo os passos acima.