O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3.)
7.139
-60 \mu

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a direção e a intensidade das deformações principais;
  • (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações;
  • (c) a deformação de cisalhamento máxima (em todo o espaço).
As informações fornecidas na sua mensagem são apenas dois números soltos: 7.139 e -60 μ (vou escrever como você mandou). Isto está incompleto/ambíguo: o estado de deformação em superfície de uma placa fina em geral precisa dos três componentes do campo de deformação de plano (ou seja, das componentes do tensor de deformação no plano): \varepsilon_x, \varepsilon_y e \gamma_{xy} (onde \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia). Também é necessário conhecer as unidades (por exemplo, se os números estão em microstrains (\mu\varepsilon), adimensionais etc.).
O enunciado diz que a superfície está livre de tensão e pede usar \nu=1/3; isso indica que podemos aplicar a condição de superfície livre (no caso, \sigma_z=0, ou seja, assumimos estado de tensões plano) para relacionar \varepsilon_z com \varepsilon_x e \varepsilon_y. Porém, com apenas os dois números soltos eu não consigo identificar quais componentes eles representam ( \varepsilon_x, \varepsilon_y ou \gamma_{xy}) nem calcular os resultados numéricos pedidos.

Passo 2

Vou explicar passo a passo o método que se usa para resolver esse tipo de questão quando os três componentes do estado de deformação no plano estão disponíveis. Assim, quando você me confirmar (ou puder conferir) quais são as grandezas associadas aos números que você enviou, você já poderá aplicar direto.
Primeiro, interpretação física e condição de superfície livre:
  • Se a superfície da placa está livre de tensão em direção z, temos \sigma_z=0. Para materiais lineares elásticos e pequenas deformações, usando a lei de Hooke 3D e eliminando \sigma_z, obtém-se a relação elástica que dá \varepsilon_z em função de \varepsilon_x e \varepsilon_y. No caso mais simples (isotrópico, linear) essa relação que usaremos é
\varepsilon_z = -\nu\;(\varepsilon_x+\varepsilon_y),
onde \nu é o coeficiente de Poisson (aqui \nu=1/3). Essa fórmula vem de impor \sigma_z=0 nas equações constitutivas de elasticidade linear isotrópica.
Observação importante: para determinar as deformações principais no plano não é obrigatório conhecer \varepsilon_z; bastam \varepsilon_x,\;\varepsilon_y e \gamma_{xy}. Entretanto \varepsilon_z é necessária se for pedir os autovalores tridimensionais completos (as três deformações principais \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) e, portanto, a cisalhamento máximo em 3D.

Passo 3

Fórmulas para obter as deformações principais (em 2D, plano das deformações):
Se você tem
\varepsilon_x (deformação normal na direção x),
\varepsilon_y (deformação normal na direção y),
\gamma_{xy} (deformação de cisalhamento de engenharia no plano xy),
então o centro e o raio do círculo de Mohr das deformações são
\text{centro} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}, \qquad r = \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
As duas deformações principais no plano (ou seja, os dois autovalores do tensor de deformação restrito ao plano) são
\varepsilon_{1,2} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} \pm r.
Explicando cada termo:
  • \varepsilon_{1} é a maior deformação principal (o sinal + acima),
  • \varepsilon_{2} é a menor no plano (o sinal -),
  • \gamma_{xy} aqui é a deformação de engenharia (não é dividida por 2 no enunciado; a fórmula já considera isso).

Passo 4

Direção das deformações principais:
O ângulo \theta_p que define a orientação dos eixos principais (ângulo entre o eixo x e o eixo principal associado a \varepsilon_1) é obtido por
\tan 2\theta_p = \frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Observações práticas:
  • Calcule 2\theta_p = \arctan\!\big(\dfrac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}\big) cuidando com o quadrante (usar função \operatorname{atan2} ou considerar sinais de numerador e denominador).
  • Depois \theta_p = metade desse valor.
  • A convenção costuma dar \varepsilon_1 associado ao ângulo \theta_p encontrado; se a escolha de sinal ficar invertida, troca-se \varepsilon_1 e \varepsilon_2.

Passo 5

Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (parte (b)):
A máxima deformação de cisalhamento no plano (valor de engenharia) é igual ao diâmetro vertical do círculo de Mohr, ou seja, 2r. Assim
\gamma_{\max,\text{plano}} = 2r = \sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2 + \gamma_{xy}^2 }.
Também se pode expressar em termos das deformações principais:
\gamma_{\max,\text{plano}} = \varepsilon_1 - \varepsilon_2.
(essas expressões são equivalentes porque \varepsilon_1-\varepsilon_2 = 2r.)

Passo 6

Deformação de cisalhamento máxima em 3D (parte (c)):
Depois de obter as três deformações principais \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 (ordenadas de maior para menor), a máxima deformação de cisalhamento de engenharia no sólido é dada por
\gamma_{\max} = \varepsilon_{\max} - \varepsilon_{\min} = \varepsilon_1 - \varepsilon_3.
Explicação rápida: em analogia com tensões, a maior diferença entre os autovalores normais determina a maior variação de deformação relativa entre direções perpendiculares, e a deformação de cisalhamento de engenharia máxima é essa diferença. Para obter \varepsilon_3 aqui, se tivermos estado de superfície livre com \sigma_z=0, calcula-se \varepsilon_z por
\varepsilon_z = -\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y),
em seguida diagonaliza-se o tensor completo (ou nota-se que as três deformações principais são os autovalores do tensor \mathrm{diag}(\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z) depois de rotacionar — normalmente uma forma prática é primeiro obter \varepsilon_1,\varepsilon_2 no plano e então comparar com \varepsilon_3=\varepsilon_z para ordenar). Então a maior cisalhamento 3D de engenharia é \varepsilon_1-\varepsilon_3.

Passo 7

Conclusão sobre os números que você mandou:
Com os dados que você escreveu (“7.139” e “-60 μ”) não é possível aplicar numericamente as fórmulas acima porque não está claro quais componentes do tensor de deformação esses números representam e qual é a unidade. Sem saber explicitamente os valores de \varepsilon_x, \varepsilon_y e \gamma_{xy} (e suas unidades), eu não posso calcular:
  • as deformações principais \varepsilon_1,\varepsilon_2 (parte a),
  • nem \gamma_{\max,\text{plano}} (parte b),
  • nem \gamma_{\max} em 3D (parte c), pois para esta última preciso também de \varepsilon_z obtida via \nu e dos dois componentes do plano.
Se o que você quis dizer foi, por exemplo, que \varepsilon_x=7{,}139\times10^{-6} e \gamma_{xy}=-60\times10^{-6} mas esqueceu de passar \varepsilon_y, continua faltando \varepsilon_y e não dá para prosseguir. Se, alternativamente, os dois números fossem \varepsilon_x e \varepsilon_y, faltaria \gamma_{xy}. Em qualquer caso falta um terceiro dado ou a identificação clara do que os números representam.

Resposta

Não é possível determinar numericamente (dados insuficientes): falta identificar explicitamente quais componentes do tensor de deformação são os números fornecidos ( \varepsilon_x,\;\varepsilon_y,\;\gamma_{xy}) e suas unidades; sem isso não se pode calcular \varepsilon_{1,2}, \gamma_{\max,\text{plano}} nem \gamma_{\max}.

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