Determine uma mudança de parâmetro t=g(\tau) para o semi-círculo \mathbf{r}(t)= \cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}(0 \leq t \leq \pi) tal que
a) o semi-círculo é traçado no sentido anti-horário quando \tau varia sobre o intervalo [0,1].
b) o semi-círculo é traçado no sentido horário quando \tau varia sobre o intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j},
com t\in[0,\pi], que descreve o semi-círculo superior de raio 1. Precisamos achar uma função de mudança de parâmetro t=g(\tau) em \tau\in[0,1] que:
a) faça o percurso no sentido anti-horário;
b) faça o percurso no sentido horário.

Passo 2

Para que o semi-círculo seja traçado no sentido anti-horário ao aumentar \tau, basta escolher g crescente que mapeie [0,1] em [0,\pi]. A escolha mais simples é a afim
g(\tau)=\pi\,\tau,
pois g(0)=0 e g(1)=\pi, e à medida que \tau cresce de 0 a 1, t cresce de 0 a \pi, mantendo o sentido original (anti-horário).

Passo 3

Para que o semi-círculo seja traçado no sentido horário ao aumentar \tau, precisamos de g decrescente que leve \tau=0 a t=\pi e \tau=1 a t=0. A forma linear mais simples é
g(\tau)=\pi\,(1-\tau),
pois g(0)=\pi, g(1)=0, e quando \tau aumenta, t diminui, invertendo o sentido de percurso.

Resposta

a) g(\tau)=\pi\,\tau.
b) g(\tau)=\pi\,(1-\tau).

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