Determine uma mudança de parâmetro
para o semi-círculo
tal que
a) o semi-círculo é traçado no sentido anti-horário quando
varia sobre o intervalo
.
b) o semi-círculo é traçado no sentido horário quando
varia sobre o intervalo
.
a) o semi-círculo é traçado no sentido anti-horário quando
b) o semi-círculo é traçado no sentido horário quando
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
,
com , que descreve o semi-círculo superior de raio 1. Precisamos achar uma função de mudança de parâmetro
em
que:
a) faça o percurso no sentido anti-horário;
b) faça o percurso no sentido horário.
com
a) faça o percurso no sentido anti-horário;
b) faça o percurso no sentido horário.
Passo 2
Para que o semi-círculo seja traçado no sentido anti-horário ao aumentar
, basta escolher
crescente que mapeie
em
. A escolha mais simples é a afim
pois
e
, e à medida que
cresce de
a
,
cresce de
a
, mantendo o sentido original (anti-horário).
Passo 3
Para que o semi-círculo seja traçado no sentido horário ao aumentar
, precisamos de
decrescente que leve
a
e
a
. A forma linear mais simples é
pois
,
, e quando
aumenta,
diminui, invertendo o sentido de percurso.
Resposta
a)
.
b) .
b)