Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\cos ^{2} \widehat{A}+\cos ^{2} \widehat{B}+\cos ^{2} \widehat{C}=1

Passo 1

O enunciado pede para classificar um triângulo ABC segundo seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) e seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno), sabendo que
\cos^{2}\!\widehat{A}+\cos^{2}\!\widehat{B}+\cos^{2}\!\widehat{C}=1.
O conteúdo principal aqui é trigonometria em triângulos, em particular usar a identidade que relaciona \cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C com \cos A\cos B\cos C.

Passo 2

Lembremos da identidade trigonométrica válida em qualquer triângulo:
\cos^{2}\!\widehat{A}+\cos^{2}\!\widehat{B}+\cos^{2}\!\widehat{C} +2\,\cos\!\widehat{A}\,\cos\!\widehat{B}\,\cos\!\widehat{C} =1.
Ela decorre de relações entre os ângulos internos e das fórmulas de soma de ângulos em trigonometria.

Passo 3

Comparando com a condição dada
\cos^{2}\!\widehat{A}+\cos^{2}\!\widehat{B}+\cos^{2}\!\widehat{C}=1,
vemos que é necessário
2\,\cos\!\widehat{A}\,\cos\!\widehat{B}\,\cos\!\widehat{C}=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\!\widehat{A}\,\cos\!\widehat{B}\,\cos\!\widehat{C}=0.

Passo 4

Do produto \cos\!\widehat{A}\,\cos\!\widehat{B}\,\cos\!\widehat{C}=0 concluímos que pelo menos um dos cossenos é zero. Como \cos\theta=0 só quando \theta=90^\circ (dentro de (0,180^\circ)), isso implica que um dos ângulos internos de ABC é reto. Logo o triângulo é retângulo.

Resposta

O triângulo é obrigatoriamente retângulo. Quanto à classificação pelos lados, não há outra restrição além de não ser equilátero: pode ser um retângulo isósceles (se os dois ângulos agudos forem iguais) ou escaleno (se eles forem distintos).

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