Determine a natureza do triângulo
(acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
Passo 1
O enunciado pede para classificar um triângulo
segundo seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) e seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno), sabendo que
O conteúdo principal aqui é trigonometria em triângulos, em particular usar a identidade que relaciona
com
.
Passo 2
Lembremos da identidade trigonométrica válida em qualquer triângulo:
Ela decorre de relações entre os ângulos internos e das fórmulas de soma de ângulos em trigonometria.
Passo 3
Comparando com a condição dada
vemos que é necessário
Passo 4
Do produto
concluímos que pelo menos um dos cossenos é zero. Como
só quando
(dentro de
), isso implica que um dos ângulos internos de
é reto. Logo o triângulo é retângulo.
Resposta
O triângulo é obrigatoriamente retângulo. Quanto à classificação pelos lados, não há outra restrição além de não ser equilátero: pode ser um retângulo isósceles (se os dois ângulos agudos forem iguais) ou escaleno (se eles forem distintos).