Determine o número complexo
que satisfaz a equação
. Descreva o passo a passo da resolução, substituindo
por
.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos:
O enunciado pede para determinar o número complexo que satisfaz a equação
O enunciado pede para determinar o número complexo
O enunciado pede explicitamente que façamos a substituição
. Portanto:
- Incógnitas: os números reais
e em . - Informação dada: a relação linear entre
e o conjugado , igual a .
Passo 2
Entender o conjugado: se
com
, então o conjugado é
Explicação curta e didática: o conjugado troca o sinal da parte imaginária. Isso é útil porque, ao escrever a equação em termos de
e
, podemos separar as partes real e imaginária e compará-las.
Passo 3
Substituir
e
na equação original. Começando por escrever a equação com
e
:
Aqui cada número e variável está em TeX:
,
,
,
,
.
Passo 4
Fazer a distribuição (multiplicar os parênteses) e agrupar termos reais e imaginários:
Primeiro distribuir:
Primeiro distribuir:
Agora somar esses resultados:
Passo 5
Simplificar os coeficientes:
Portanto a equação original se reduz a
Passo 6
Igualar as partes real e imaginária (método padrão para equações entre números complexos): duas expressões complexas são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Assim obtemos o sistema:
Explanação: comparei a parte real
com
e a parte imaginária
com
.
Passo 7
Resolver o sistema para
e
:
Da primeira equação já vem
Da primeira equação já vem
Da segunda,
Passo 8
Construir
com os valores encontrados:
Passo 9
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calcule
com
e
:
que é exatamente o lado direito dado. Logo a solução está correta e é única.