Determine o número complexo z que satisfaz a equação 3 z-2 \bar{z}=5+10 i. Descreva o passo a passo da resolução, substituindo z por x+y i.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos:
O enunciado pede para determinar o número complexo z que satisfaz a equação
3z - 2\bar{z} = 5 + 10i.
O enunciado pede explicitamente que façamos a substituição z = x + yi. Portanto:
  • Incógnitas: os números reais x e y em z = x + yi.
  • Informação dada: a relação linear entre z e o conjugado \bar{z}, igual a 5 + 10i.

Passo 2

Entender o conjugado: se z = x + yi com x,y\in\mathbb{R}, então o conjugado é
\bar{z} = x - yi.
Explicação curta e didática: o conjugado troca o sinal da parte imaginária. Isso é útil porque, ao escrever a equação em termos de x e y, podemos separar as partes real e imaginária e compará-las.

Passo 3

Substituir z e \bar{z} na equação original. Começando por escrever a equação com z = x + yi e \bar{z} = x - yi:
3(x+yi) - 2(x-yi) = 5 + 10i.
Aqui cada número e variável está em TeX: 3, -2, x, y, i.

Passo 4

Fazer a distribuição (multiplicar os parênteses) e agrupar termos reais e imaginários:
Primeiro distribuir:
3(x+yi) = 3x + 3yi, \qquad -2(x-yi) = -2x + 2yi.
Agora somar esses resultados:
3x + 3yi -2x + 2yi = (3x-2x) + (3y+2y)i.

Passo 5

Simplificar os coeficientes:
(3x-2x) + (3y+2y)i = x + 5y\,i.
Portanto a equação original se reduz a
x + 5y\,i = 5 + 10i.

Passo 6

Igualar as partes real e imaginária (método padrão para equações entre números complexos): duas expressões complexas são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Assim obtemos o sistema:
x = 5, \qquad 5y = 10.
Explanação: comparei a parte real x com 5 e a parte imaginária 5y com 10.

Passo 7

Resolver o sistema para x e y:
Da primeira equação já vem
x = 5.
Da segunda,
5y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{10}{5} = 2.

Passo 8

Construir z com os valores encontrados:
z = x + yi = 5 + 2i.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calcule 3z - 2\bar{z} com z=5+2i e \bar{z}=5-2i:
3(5+2i) - 2(5-2i) = (15+6i) - (10-4i) = 15+6i-10+4i = 5 + 10i,
que é exatamente o lado direito dado. Logo a solução está correta e é única.

Resposta

5+2i

Exercícios relacionados