Calcule a divisão \frac{3+4 i}{1-2 i}. Explique detalhadamente por que o método de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador é utilizado para efetuar essa operação.

Passo 1

O enunciado pede dois itens:
  • Calcular a divisão \dfrac{3+4 i}{1-2 i}.
  • Explicar detalhadamente por que o método de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador é utilizado.
Informações dadas:
  • Numerador: 3+4 i.
  • Denominador: 1-2 i.

Passo 2

O que é o conjugado de um número complexo e por que ele é útil.
Definição: o conjugado de um número complexo \,c+di\, é \,c-di\,, isto é, troca-se o sinal da parte imaginária.
Propriedade importante: o produto de um complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo igual ao quadrado do módulo. Vamos demonstrar isto com álgebra simples:
(c+di)(c-di)=c^2-(di)^2.
Como (di)^2=d^2 i^2 e i^2=-1, segue que
(di)^2=d^2(-1)=-d^2,
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(c+di)(c-di)=c^2-(-d^2)=c^2+d^2,
que é um número real. Em termos de módulo, c^2+d^2=|c+di|^2.
Conclusão prática: multiplicando um denominador complexo pelo seu conjugado transforma o denominador em um número real (especificamente c^2+d^2), o que “elimna” a parte imaginária do denominador. Isso facilita escrever o quociente na forma padrão a+bi.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: escolher o conjugado do denominador.
O denominador é 1-2 i. O seu conjugado é 1+2 i. Vamos multiplicar numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{3+4 i}{1-2 i}\cdot\frac{1+2 i}{1+2 i}=\frac{(3+4 i)(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}.
Multiplicar pelo conjugado não muda o valor do quociente porque se multiplica por \dfrac{1+2i}{1+2i}=1.

Passo 4

Calcular o numerador (3+4 i)(1+2 i) passo a passo.
Usar a distributiva (produto de duas somas):
(3+4 i)(1+2 i)=3\cdot1+3\cdot2 i+4 i\cdot1+4 i\cdot2 i.
Calcular termo a termo:
3\cdot1=3, \qquad 3\cdot2 i=6 i, \qquad 4 i\cdot1=4 i, \qquad 4 i\cdot2 i=8 i^2.
Lembrando que i^2=-1, obtemos 8 i^2=8(-1)=-8. Somando real com real e imaginário com imaginário:
3-8= -5, \qquad 6 i+4 i=10 i.
Portanto
(3+4 i)(1+2 i)=-5+10 i.

Passo 5

Calcular o denominador (1-2 i)(1+2 i) passo a passo.
Usar a propriedade do conjugado (ou distribuir):
(1-2 i)(1+2 i)=1^2+(2)^2=1+4=5.
(Distribuindo: 1\cdot1+1\cdot2 i-2 i\cdot1-2 i\cdot2 i = 1+2 i-2 i-4 i^2 = 1+0+4 =5, pois i^2=-1.)

Passo 6

Formar a fração simplificada e separar partes real e imaginária.
Agora temos
\frac{3+4 i}{1-2 i}=\frac{-5+10 i}{5}.
Separando em parte real e imaginária (dividindo cada termo por 5):
\frac{-5}{5}+\frac{10}{5} i = -1 + 2 i.

Passo 7

Interpretação final e fórmula geral.
O resultado final na forma padrão a+bi é -1+2 i.
Fórmula geral (útil em provas): para qualquer
\dfrac{a+bi}{c+di},
multiplicando por \dfrac{c-di}{c-di} obtém-se
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.
Isso mostra de forma algébrica por que o denominador fica real e como encontrar as partes real e imaginária do quociente sem ambiguidades.
Dica de prova: sempre que o denominador for complexo, use o conjugado para “racionalizar” (tornar real) o denominador; é um passo obrigatório para colocar o resultado na forma a+bi.

Resposta

-1+2 i

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