Calcule a divisão
. Explique detalhadamente por que o método de multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador é utilizado para efetuar essa operação.
Passo 1
O enunciado pede dois itens:
- Calcular a divisão
. - Explicar detalhadamente por que o método de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador é utilizado.
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
O que é o conjugado de um número complexo e por que ele é útil.
Definição: o conjugado de um número complexo
é
, isto é, troca-se o sinal da parte imaginária.
Propriedade importante: o produto de um complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo igual ao quadrado do módulo. Vamos demonstrar isto com álgebra simples:
Como
e
, segue que
logo
que é um número real. Em termos de módulo,
.
Conclusão prática: multiplicando um denominador complexo pelo seu conjugado transforma o denominador em um número real (especificamente
), o que “elimna” a parte imaginária do denominador. Isso facilita escrever o quociente na forma padrão
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: escolher o conjugado do denominador.
O denominador é
. O seu conjugado é
. Vamos multiplicar numerador e denominador por esse conjugado:
Multiplicar pelo conjugado não muda o valor do quociente porque se multiplica por
.
Passo 4
Calcular o numerador
passo a passo.
Usar a distributiva (produto de duas somas):
Calcular termo a termo:
Lembrando que
, obtemos
. Somando real com real e imaginário com imaginário:
Portanto
Passo 5
Calcular o denominador
passo a passo.
Usar a propriedade do conjugado (ou distribuir):
(Distribuindo:
, pois
.)
Passo 6
Formar a fração simplificada e separar partes real e imaginária.
Agora temos
Separando em parte real e imaginária (dividindo cada termo por
):
Passo 7
Interpretação final e fórmula geral.
O resultado final na forma padrão
é
.
Fórmula geral (útil em provas): para qualquer
,
multiplicando por obtém-se
multiplicando por
Isso mostra de forma algébrica por que o denominador fica real e como encontrar as partes real e imaginária do quociente sem ambiguidades.
Dica de prova: sempre que o denominador for complexo, use o conjugado para “racionalizar” (tornar real) o denominador; é um passo obrigatório para colocar o resultado na forma
.