Determine o número de divisores positivos de:
13860 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o número de divisores positivos de 13860. Esse tipo de problema usa fatoração em números primos e a fórmula que relaciona os expoentes na fatoração com a quantidade de divisores.

Passo 2

Vamos fatorar 13860 em primos de maneira organizada:
Primeiro, percebemos que
13860 = 1386 \times 10
e
1386 = 2 \times 693, \quad 10 = 2 \times 5.
Logo,
13860 = 2^2 \times 693 \times 5.
Agora fatoramos 693:
693 = 9 \times 77 = 3^2 \times (7 \times 11).
Portanto, a fatoração completa é
13860 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1.

Passo 3

A teoria diz que, se
n = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}},
então o número de divisores positivos de n é
\tau(n) = (a_{1}+1)\,(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1).

Passo 4

No nosso caso, os expoentes são 2,2,1,1,1. Aplicando a fórmula:
\tau(13860) = (2+1)\,(2+1)\,(1+1)\,(1+1)\,(1+1) = 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 = 72.

Resposta

72

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