Seja
um inteiro. Mostre que os números
são todos compostos. Conclua que por maior que seja
sempre existem
inteiros números compostos consecutivos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro
, cada número da sequência
é composto. Em seguida, devemos concluir que, dado qualquer inteiro
, sempre existem
inteiros compostos consecutivos. Vamos usar propriedades de divisibilidade de
para resolver.
Passo 2
Lembramos que por definição
é divisível por todo inteiro
tal que
. Em particular, para cada
vale
Passo 3
Como
, temos também
Além disso, para
ocorre
logo
é um divisor próprio de
. Isso mostra que cada número
com
tem um divisor além de
e de si mesmo, ou seja, é composto.
Passo 4
Para concluir a existência de
números compostos consecutivos, basta escolher
. Então os números
são exatamente
termos (pois vão de
até
) e, pelo passo anterior, todos compostos.
Resposta
Os números
são todos compostos, pois cada
divide
com
. Consequentemente, para qualquer inteiro
basta tomar
para obter
inteiros compostos consecutivos.