Seja k>1 um inteiro. Mostre que os números k!+2, k!+3, \ldots, k!+k são todos compostos. Conclua que por maior que seja m sempre existem m inteiros números compostos consecutivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro k>1, cada número da sequência
k! + 2,\;k! + 3,\;\dots,\;k! + k
é composto. Em seguida, devemos concluir que, dado qualquer inteiro m, sempre existem m inteiros compostos consecutivos. Vamos usar propriedades de divisibilidade de k! para resolver.

Passo 2

Lembramos que por definição
k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k
é divisível por todo inteiro j tal que 1 \le j \le k. Em particular, para cada j\in\{2,3,\dots,k\} vale
j \mid k!.

Passo 3

Como j\mid k!, temos também
j \mid \bigl(k! + j\bigr).
Além disso, para j\ge2 ocorre
k! + j > j,
logo j é um divisor próprio de k! + j. Isso mostra que cada número k!+j com 2\le j\le k tem um divisor além de 1 e de si mesmo, ou seja, é composto.

Passo 4

Para concluir a existência de m números compostos consecutivos, basta escolher k = m+1. Então os números
(m+1)! + 2,\;(m+1)! + 3,\;\dots,\;(m+1)! + (m+1)
são exatamente m termos (pois vão de j=2 até j=m+1) e, pelo passo anterior, todos compostos.

Resposta

Os números k!+2,\dots,k!+k são todos compostos, pois cada j\in\{2,\dots,k\} divide k!+j com k!+j>j. Consequentemente, para qualquer inteiro m basta tomar k=m+1 para obter m inteiros compostos consecutivos.

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