Determine o número de permutações de ( 1,2,3,4,5,6 ) nas quais nem o 4 ocupa o quarto lugar nem o 6 ocupa o sexto lugar.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de (1,2,3,4,5,6) tais que nem o 4 esteja na quarta posição nem o 6 esteja na sexta. O conteúdo envolvido é contagem de permutações com proibições de posições fixas, que resolvemos usando o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Primeiro, o total de permutações de seis elementos é
6! = 720.

Passo 3

Seja A o conjunto de permutações em que o 4 ocupa a quarta posição e B o conjunto em que o 6 ocupa a sexta posição.
  • Para uma permutação em A, fixamos o 4 em sua posição e permutamos os outros cinco elementos, logo
|A| = 5! = 120.
  • De modo análogo,
|B| = 5! = 120.
  • Para A\cap B, fixamos ao mesmo tempo o 4 na quarta posição e o 6 na sexta, sobrando quatro elementos livres, logo
|A\cap B| = 4! = 24.

Passo 4

Pelo princípio da inclusão–exclusão, o número de permutações em que não ocorre nenhuma das duas situações é
\bigl|A'\cap B'\bigr| =6! \;-\;|A|\;-\;|B|\;+\;|A\cap B| =720 \;-\;120\;-\;120\;+\;24 =504.

Resposta

504

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