Determine os números complexos z_{1}=\rho(\cos (\theta)+i \cdot \operatorname{sen}(\theta)) sabendo que \rho^{4}[\cos (3 \theta)+i \cdot \operatorname{sen}(3 \theta)]=8\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right].
Sugestão: \left\{\begin{array}{l}\rho^{3}=8 \\\\ 3 \theta=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in Z\end{array}\right.
R:\left\{\begin{array}{l}Z_{0}=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right] \\\ Z_{1}=2\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right] \\\ Z_{3}=2\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{6}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{6}\right)\right]\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os números complexos z_{1}=\rho\bigl(\cos(\theta)+i\cdot\operatorname{sen}(\theta)\bigr)\) que satisfazem a identidade \[\rho^{4}\bigl[\cos(3\theta)+i\cdot\operatorname{sen}(3\theta)\bigr]=8\bigl[\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\cdot\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr].
O enunciado trouxe também uma sugestão (que vou usar):
\begin{cases} \rho^{3}=8,\\[4pt] 3\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\,2\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • Queremos as formas polares/trigonométricas z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\]. - Existe uma igualdade entre duas formas trigonométricas complexas; isso impõe igualdade de módulo e igualdade de argumento (mod \(2\pi).
    - A sugestão dá o sistema acima (ou seja, estamos trabalhando com \rho^{3}=8 e 3\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k).]

Passo 2

Breve aulinha do que vamos usar (De Moivre e igualdade de complexos em forma trigonométrica):
  • Se z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) então, para inteiro n,
z^{n}=\rho^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Isto é o Teorema de De Moivre. Aqui \rho é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo).
  • Duas expressões na forma trigonométrica são iguais se, e só se, tiverem o mesmo módulo e argumentos que difiram por um múltiplo inteiro de 2\pi. Ou seja, se
R_1\bigl(\cos\alpha+i\sin\alpha\bigr)=R_2\bigl(\cos\beta+i\sin\beta\bigr),
então R_1=R_2 e \alpha=\beta+2\pi m para algum m\in\mathbb{Z}.
Exemplo rápido: 2(\cos\pi+i\sin\pi) = 2(-1+0i) = -2. Para igualar a outra forma trigonométrica com módulo 2, seus argumentos têm que ser congruentes a \pi módulo 2\pi.

Passo 3

Aplicando o critério módulo/argumento à igualdade (usando a sugestão \rho^{3}=8 e 3\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k):
  • Igualdade dos módulos: do lado esquerdo o módulo é \rho^{3} (pois |\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)|=1); do lado direito o módulo é 8. Portanto
\rho^{3}=8.

Passo 4

Resolver \rho^{3}=8:
  • A raiz cúbica real de 8 é
\rho=8^{1/3}=2.
(Explicando: 8=2^{3}, então 8^{1/3}=2.)

Passo 5

Agora a igualdade dos argumentos:
3\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isolando \theta,
\theta=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como \theta é um ângulo definido módulo 2\pi, escolhemos três valores distintos de \theta no intervalo [0,2\pi) correspondentes a k=0,1,2 (porque o expoente 3 gera 3 soluções distintas no círculo):
  • Para k=0: \theta_{0}=\tfrac{\pi}{6}.
  • Para k=1: \theta_{1}=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{6}.
  • Para k=2: \theta_{2}=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{9\pi}{6}=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 6

Construindo os números z com \rho=2 e cada \theta_{k}. Vamos escrever em forma trigonométrica e na forma a+ib (retangular), calculando cosenos e senos exatos:
  1. Para \theta_{0}=\tfrac{\pi}{6}:
z_{0}=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Sabendo \cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}, obtemos
z_{0}=2\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr)=\sqrt{3}+i.
  1. Para \theta_{1}=\tfrac{5\pi}{6}:
z_{1}=2\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{6}+i\sin\tfrac{5\pi}{6}\bigr).
Sabendo \cos\tfrac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{1}{2}, obtemos
z_{1}=2\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr)=-\sqrt{3}+i.
  1. Para \theta_{2}=\tfrac{3\pi}{2}:
z_{2}=2\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr).
Sabendo \cos\tfrac{3\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{3\pi}{2}=-1, obtemos
z_{2}=2(0+i\cdot(-1))=-2i.

Passo 7

Resumo e observações rápidas:
  • Obtivemos três soluções, que é o esperado quando se resolve um problema do tipo “encontrar \theta” a partir de 3\theta=\dots (são três ângulos distintos módulo 2\pi).
  • As formas trigonométricas e as formas retangulares das soluções estão calculadas acima; na prova vale apresentar qualquer uma das formas, mas é bom mostrar a conversão para confirmar os valores exatos (como fizemos).

Resposta

z_{0}=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\sqrt{3}+i
z_{1}=2\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{6}+i\sin\tfrac{5\pi}{6}\bigr)=-\sqrt{3}+i
z_{2}=2\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-2i

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