O enunciado pede: determinar os números complexos z_{1}=\rho\bigl(\cos(\theta)+i\cdot\operatorname{sen}(\theta)\bigr)\) que satisfazem a identidade
\[\rho^{4}\bigl[\cos(3\theta)+i\cdot\operatorname{sen}(3\theta)\bigr]=8\bigl[\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\cdot\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr].
O enunciado trouxe também uma sugestão (que vou usar):
Queremos as formas polares/trigonométricas z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\].
- Existe uma igualdade entre duas formas trigonométricas complexas; isso impõe igualdade de módulo e igualdade de argumento (mod \(2\pi).
- A sugestão dá o sistema acima (ou seja, estamos trabalhando com \rho^{3}=8 e 3\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k).]
Passo 2
Breve aulinha do que vamos usar (De Moivre e igualdade de complexos em forma trigonométrica):
Se z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) então, para inteiro n,
Isto é o Teorema de De Moivre. Aqui \rho é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo).
Duas expressões na forma trigonométrica são iguais se, e só se, tiverem o mesmo módulo e argumentos que difiram por um múltiplo inteiro de 2\pi. Ou seja, se
então R_1=R_2 e \alpha=\beta+2\pi m para algum m\in\mathbb{Z}.
Exemplo rápido: 2(\cos\pi+i\sin\pi) = 2(-1+0i) = -2. Para igualar a outra forma trigonométrica com módulo 2, seus argumentos têm que ser congruentes a \pi módulo 2\pi.
Passo 3
Aplicando o critério módulo/argumento à igualdade (usando a sugestão \rho^{3}=8 e 3\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k):
Igualdade dos módulos: do lado esquerdo o módulo é \rho^{3} (pois |\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)|=1); do lado direito o módulo é 8. Portanto
Como \theta é um ângulo definido módulo 2\pi, escolhemos três valores distintos de \theta no intervalo [0,2\pi) correspondentes a k=0,1,2 (porque o expoente 3 gera 3 soluções distintas no círculo):
Para k=0: \theta_{0}=\tfrac{\pi}{6}.
Para k=1: \theta_{1}=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{6}.
Para k=2: \theta_{2}=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{9\pi}{6}=\tfrac{3\pi}{2}.
Passo 6
Construindo os números z com \rho=2 e cada \theta_{k}. Vamos escrever em forma trigonométrica e na forma a+ib (retangular), calculando cosenos e senos exatos:
Sabendo \cos\tfrac{3\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{3\pi}{2}=-1, obtemos
z_{2}=2(0+i\cdot(-1))=-2i.
Passo 7
Resumo e observações rápidas:
Obtivemos três soluções, que é o esperado quando se resolve um problema do tipo “encontrar \theta” a partir de 3\theta=\dots (são três ângulos distintos módulo 2\pi).
As formas trigonométricas e as formas retangulares das soluções estão calculadas acima; na prova vale apresentar qualquer uma das formas, mas é bom mostrar a conversão para confirmar os valores exatos (como fizemos).