( 1,0 ) Determine os números complexos z tais que z \cdot \bar{z}+(z-\bar{z})=13+6 i.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado nos dá a igualdade envolvendo um número complexo z:
z\cdot\overline{z} + (z - \overline{z}) = 13 + 6i.
O que se pede é: determinar todos os números complexos z que satisfazem essa equação. Informações importantes fornecidas: a parte direita é o complexo 13+6i. Nada mais foi dado explicitamente.
Passo 2
Explicar como trabalhar com z e \overline{z}. Vamos escrever z em termos das suas partes real e imaginária, que é a forma mais prática para manipular conjugado e produto:
z = x + i y,
onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z (ambos reais). O conjugado é
\overline{z} = x - i y.
Aqui: x,y\in\mathbb{R}. Sempre que aparecer i significa a unidade imaginária com i^2=-1.
Passo 3
Calcular z\cdot\overline{z} em termos de x e y. Isso é uma identidade conhecida e muito útil: o produto de um complexo pelo seu conjugado é o quadrado do módulo (é real não-negativo). Vamos mostrar a conta:
Portanto \,z\cdot\overline{z}=x^2+y^2, que é um número real.
Passo 4
Calcular z-\overline{z} em termos de x e y. É também direto:
z-\overline{z}=(x+iy)-(x-iy)=2iy.
Note que 2iy é puramente imaginário (parte real zero). Aqui explico: a diferença elimina as partes reais e duplica a parte imaginária multiplicada por i.
Passo 5
Substituir as expressões obtidas na equação inicial. A esquerda fica a soma do resultado do passo 3 com o passo 4:
A equação dada é igual a 13+6i. Portanto temos a igualdade de dois complexos:
(x^2+y^2)+2iy = 13+6i.
Passo 6
Igualar partes real e imaginária separadamente. Para dois complexos serem iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais. Assim obtemos o sistema real:
parte real:
x^2+y^2=13,
parte imaginária:
2y=6.
Da segunda equação vem imediatamente
y=3.
Passo 7
Substituir y=3 na equação da parte real e resolver para x. Substituição:
x^2+(3)^2=13 \quad\Rightarrow\quad x^2+9=13.
Isolando x^2:
x^2=13-9=4.
Portanto
x=\pm 2.
Passo 8
Escrever as soluções em termos de z e verificar rapidamente (checagem). Com y=3 e x=2 ou x=-2 obtemos os dois números:
z_1=2+3i,\qquad z_2=-2+3i.
Checagem rápida: para z_1, z_1\overline{z_1}=2^2+3^2=13 e z_1-\overline{z_1}=2i\cdot 3=6i, soma 13+6i conforme pedido. Mesma verificação vale para z_2 porque x^2 permanece 4.