e pede que determinemos o conjunto fundamental de soluções (ou seja, duas soluções linearmente independentes que geram todas as soluções do sistema).
Informações relevantes que temos do enunciado:
O sistema é linear e de coeficientes constantes.
As incógnitas são x(t) e y(t).
Não há condições iniciais; queremos a família geral de soluções (conjunto fundamental).]
Passo 2
Escrever o sistema na forma matricial facilita o uso de autovalores e autovetores. Definindo \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\end{pmatrix}, temos
A teoria básica: para um sistema linear \dfrac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} com A constante, procura-se os autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A (soluções de (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}). Se \lambda é um autovalor e \mathbf{v} um autovetor, então e^{\lambda t}\mathbf{v} é uma solução do sistema. Se os autovalores forem complexos conjugados, extraem-se partes real e imaginária para obter duas soluções reais linearmente independentes.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico de A e seus autovalores. O polinômio característico é
Conclusão: os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1,2}=5\pm 2i. Isso indica termos exponenciais com fator real e^{5t} e oscilações com frequência angular 2.]
Passo 4
Encontrar um autovetor correspondente a \lambda=5+2i. Resolver (A-(5+2i)I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Escrevendo a matriz:
É bom verificar (opcional) que a segunda equação é compatível; ela realmente se satisfaz ao substituir v_2, então \mathbf{v} está correta.]
Passo 5
Transformar a solução complexa em duas soluções reais. Se \lambda=\alpha+i\beta e \mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q} (com \mathbf{p},\mathbf{q} vetores reais), então
Estas são duas soluções reais. Para confirmar que são linearmente independentes, calcule o determinante formado por elas num instante (por exemplo t=0):
logo são linearmente independentes. Como o sistema é de ordem 2, estas duas soluções formam um conjunto fundamental.]
Passo 7
Escrever a solução geral do sistema: qualquer solução geral é combinação linear das duas soluções fundamentais \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2. Assim, se \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\end{pmatrix}, então existem constantes reais C_1,C_2 tais que