Determine:
f_{x}(-1,1), onde f(x, y)=x^{5}+4 x^{2} y^{2}+3 x y^{7}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de f(x,y)=x^{5}+4x^{2}y^{2}+3xy^{7} em relação a x no ponto (-1,1). O conteúdo aqui é derivada parcial, ou seja, diferenciar f em relação a x tratando y como constante.

Passo 2

Para encontrar \displaystyle f_{x}(x,y) aplicamos a definição de derivada parcial, diferenciando cada termo de f em relação a x e mantendo y fixo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4},\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{2}y^{2}\bigr)=8x\,y^{2},\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{7}\bigr)=3y^{7}.

Passo 3

Somando os resultados, obtemos a expressão geral de \displaystyle f_{x}(x,y):
f_{x}(x,y)=5x^{4}+8x\,y^{2}+3y^{7}.

Passo 4

Agora avaliamos em (-1,1):
f_{x}(-1,1) =5(-1)^{4}+8(-1)\,(1)^{2}+3\,(1)^{7} =5-8+3=0.

Resposta

f_{x}(-1,1)=0.

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