Determine onde em 
  a função 
  está crescendo e decrescendo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para descobrir onde, no intervalo de 
 , a função 
  está crescendo ou decrescendo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função muda. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função 
  e analisar onde essa derivada é positiva (função crescendo) ou negativa (função decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função 
 . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação à variável 
 . Então, vamos derivar cada termo de 
 :
A derivada de 
  é 
  e a derivada de 
  é 
 . A derivada de uma constante, como 3, é 0. Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos saber onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada 
 :
- Se 
, a função está crescendo.  - Se 
, a função está decrescendo.  
Vamos resolver a inequação 
  e 
  no intervalo 
 .
Passo 4
Para encontrar onde 
 :
E para 
 :
Passo 5
Vamos resolver essas inequações para encontrar os valores de 
  onde a função cresce ou decresce.
Primeiro, note que podemos reescrever a condição para facilitar a resolução:
Podemos usar a identidade trigonométrica para combinar os termos:
Onde:
No nosso caso, 
  e 
 , então:
Então,
Passo 6
Agora, sabemos que o sinal de 
  depende do sinal de 
 .
- 
quando está no primeiro ou segundo quadrante.  - 
quando está no terceiro ou quarto quadrante.  
Portanto:
- 
quando .  - 
quando .  
Vamos encontrar os valores de 
  no intervalo 
  que satisfazem essas condições.
Passo 7
Calculando 
 :
Então, queremos resolver:
Vamos encontrar os intervalos onde isso acontece no intervalo 
 .
Passo 8
A função seno é negativa quando seu argumento está entre 
  e 
 , e assim sucessivamente. Vamos encontrar os valores de 
  que satisfazem:
No intervalo 
 , isso se traduz em 
  entre 
  e 
 .
Para a segunda condição:
Resposta
No intervalo de 
 , a função 
  está crescendo quando 
  está entre 
  e 
 , e decrescendo quando 
  está entre 
  e 
 .