Determine onde o gráfico da função dada tem concavidade positiva, onde a concavidade é nega e obtenha os pontos de inflexão caso existam.
f(x)=\sqrt[5]{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=\sqrt[5]{x-2}
é côncava para cima (concavidade positiva), côncava para baixo (concavidade negativa) e, se existir, onde estão os pontos de inflexão. Para isso vamos usar derivadas segunda e analisar o sinal.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra de potência. Como
f(x)=(x-2)^{1/5},
temos
f'(x)=\frac{1}{5}(x-2)^{\tfrac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}(x-2)^{-\tfrac{4}{5}}.

Passo 3

Agora derivamos f' para obter f''. Aplicando de novo a regra de potência:
f''(x) =\frac{1}{5}\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)\,(x-2)^{-\tfrac{4}{5}-1} =-\frac{4}{25}(x-2)^{-\tfrac{9}{5}}.

Passo 4

Para estudar a concavidade, analisamos o sinal de
f''(x)=-\frac{4}{25}\,\frac{1}{(x-2)^{9/5}}.
O fator -\tfrac{4}{25} é sempre negativo. O denominador (x-2)^{9/5} tem o mesmo sinal de x-2 porque 9/5 é fração com numerador e denominador ímpares. Logo:
- Se x>2, então (x-2)^{9/5}>0 e f''(x)<0, indicando concavidade negativa (côncavo para baixo).
- Se x<2, então (x-2)^{9/5}<0 e f''(x)>0, indicando concavidade positiva (côncavo para cima).

Passo 5

Como há troca de sinal de f'' ao passar por x=2 e f é contínua em x=2 com f(2)=0, existe ponto de inflexão em x=2, mesmo que f'' não esteja definida lá.

Resposta

A concavidade é positiva (côncavo para cima) em (-\infty,2).
A concavidade é negativa (côncavo para baixo) em (2,\infty).
Existe um ponto de inflexão em \bigl(2,0\bigr).

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