Determine onde o gráfico da função dada tem concavidade positiva, onde a concavidade é nega e obtenha os pontos de inflexão caso existam.
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
é côncava para cima (concavidade positiva), côncava para baixo (concavidade negativa) e, se existir, onde estão os pontos de inflexão. Para isso vamos usar derivadas segunda e analisar o sinal.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra de potência. Como
temos
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Aplicando de novo a regra de potência:
Passo 4
Para estudar a concavidade, analisamos o sinal de
O fator
é sempre negativo. O denominador
tem o mesmo sinal de
porque
é fração com numerador e denominador ímpares. Logo:
- Se
, então
e
, indicando concavidade negativa (côncavo para baixo).
- Se , então
e
, indicando concavidade positiva (côncavo para cima).
- Se
Passo 5
Como há troca de sinal de
ao passar por
e
é contínua em
com
, existe ponto de inflexão em
, mesmo que
não esteja definida lá.
Resposta
A concavidade é positiva (côncavo para cima) em
.
A concavidade é negativa (côncavo para baixo) em .
Existe um ponto de inflexão em .
A concavidade é negativa (côncavo para baixo) em
Existe um ponto de inflexão em