Determine:
Ovalor de k para que a função f(t)=e^{k \cdot|x|} seja a função de densidade de probabilidade.
Uma função f positiva e integrável em \mathbb{R} é chamada densidade de probabilidade se:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1
Assim, denotamos e definimos a probabilidade de um número x estar comprendido entre a e b, a<b por:
P(a<x<b)=\int_{a}^{b} f(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o valor de k para que a função f dada seja uma função de densidade de probabilidade na reta real.
Informações fornecidas:
f(t)=e^{k\cdot|x|}
Observe que o enunciado usa tanto t quanto x; vou tomar a variável da densidade como x, ou seja, \;f(x)=e^{k|x|}.
Condição que precisa ser satisfeita para f ser densidade:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1.
Também sabemos que uma densidade deve ser não negativa e integrável em \mathbb{R}. Neste problema precisamos então achar k tal que a integral imprópria acima exista (seja finita) e valha 1.

Passo 2

Analisando positividade: para todo x\in\mathbb{R} e todo k\in\mathbb{R} temos e^{k|x|}>0. Logo a condição de não negatividade já está satisfeita para qualquer k. O ponto crítico é a integrabilidade (a integral sobre \mathbb{R} ser finita). Vou estudar a integral \int_{-\infty}^{\infty} e^{k|x|}\,dx.

Passo 3

Usamos a simetria da função que envolve |x|. Explico por que podemos escrever a integral como o dobro de uma integral sobre [0,\infty): para x\ge 0 temos |x|=x e para x<0 temos |x|=-x. Substituindo u=-x na parte negativa:
\int_{-\infty}^{0} e^{k|x|}\,dx = \int_{-\infty}^{0} e^{k(-x)}\,dx = \int_{\infty}^{0} e^{k u}(-du) = \int_{0}^{\infty} e^{k u}\,du.
Portanto a integral total é
\int_{-\infty}^{\infty} e^{k|x|}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx.

Passo 4

Agora avaliamos a integral imprópria \int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx. Primeiro o antiderivado de e^{k x} em relação a x é
\int e^{k x}\,dx = \frac{e^{k x}}{k}\quad\text{(para \(k\neq 0\)).}
Como é uma integral imprópria, avaliamos o limite:
\int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\frac{e^{k b}-e^{k\cdot 0}}{k} = \lim_{b\to\infty}\frac{e^{k b}-1}{k}.
Esse limite é finito somente se e^{k b}\to 0 quando b\to\infty, o que ocorre apenas quando k<0. Se k\ge 0 a integral diverge. Portanto precisamos de k<0. Para k<0 temos e^{k b}\to 0, logo
\int_{0}^{\infty} e^{k x}\,dx = \frac{0-1}{k} = -\frac{1}{k}.
Assim a integral total vale
\int_{-\infty}^{\infty} e^{k|x|}\,dx = 2\left(-\frac{1}{k}\right) = -\frac{2}{k},
válido somente para k<0.

Passo 5

Impondo a condição de normalização (integral igual a 1):
-\frac{2}{k} = 1.
Resolvendo essa equação para k:
-\frac{2}{k}=1 \quad\Longrightarrow\quad -2 = k \quad\Longrightarrow\quad k = -2.
Verificamos que k=-2 satisfaz a condição k<0 que impusemos para a integrabilidade.

Passo 6

Verificação final (substituição direta): com k=-2,
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|x|}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-2x}\,dx = 2\left[\frac{e^{-2x}}{-2}\right]_{0}^{\infty} = 2\left(0 - \frac{1}{-2}\right) = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
Portanto k=-2 normaliza a função corretamente.

Resposta

\;k=-2

Exercícios relacionados