Determine:
Ovalor de
para que a função
seja a função de densidade de probabilidade.
Uma função
positiva e integrável em
é chamada densidade de probabilidade se:
Assim, denotamos e definimos a probabilidade de um número
estar comprendido entre
e
,
por:
Ovalor de
Uma função
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o valor de
para que a função
dada seja uma função de densidade de probabilidade na reta real.
Informações fornecidas:
Observe que o enunciado usa tanto
quanto
; vou tomar a variável da densidade como
, ou seja,
.
Condição que precisa ser satisfeita para ser densidade:
Condição que precisa ser satisfeita para
Também sabemos que uma densidade deve ser não negativa e integrável em
. Neste problema precisamos então achar
tal que a integral imprópria acima exista (seja finita) e valha
.
Passo 2
Analisando positividade: para todo
e todo
temos
. Logo a condição de não negatividade já está satisfeita para qualquer
. O ponto crítico é a integrabilidade (a integral sobre
ser finita). Vou estudar a integral
.
Passo 3
Usamos a simetria da função que envolve
. Explico por que podemos escrever a integral como o dobro de uma integral sobre
: para
temos
e para
temos
. Substituindo
na parte negativa:
Portanto a integral total é
Passo 4
Agora avaliamos a integral imprópria
. Primeiro o antiderivado de
em relação a
é
Como é uma integral imprópria, avaliamos o limite:
Esse limite é finito somente se
quando
, o que ocorre apenas quando
. Se
a integral diverge. Portanto precisamos de
. Para
temos
, logo
Assim a integral total vale
válido somente para
.
Passo 5
Impondo a condição de normalização (integral igual a
):
Resolvendo essa equação para
:
Verificamos que
satisfaz a condição
que impusemos para a integrabilidade.
Passo 6
Verificação final (substituição direta): com
,
Portanto
normaliza a função corretamente.