Faça o que se pede:
a) Prove que \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x é convergente;
b) Verifique que 0 \leq\left|e^{-x} \cdot \operatorname{sen}^{3} x\right| \leq e^{-x} para todo x \in \mathbb{R};
c) Mostre que a integral imprópria \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \operatorname{sen}^{3} x d x é convergente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas; vou listar claramente o que é solicitado e quais informações temos:
  • (a) Provar que \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx é convergente.
  • (b) Verificar que 0 \leq \left|e^{-x}\cdot \operatorname{sen}^{3} x\right| \leq e^{-x} para todo x\in\mathbb{R}.
  • (c) Mostrar que a integral imprópria \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\operatorname{sen}^{3} x\,dx é convergente.
Informações dadas / que podemos usar imediatamente:
  • A função x\mapsto e^{-x} é positiva para todo x.
  • A função \operatorname{sen}x (seno) satisfaz |\operatorname{sen}x|\leq 1 para todo x.
  • As integrais impróprias no intervalo [0,+\infty) são entendidas como limites do tipo \lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A}\cdots.
Agora sigo para a resolução passo a passo.

Passo 2

(a) Vamos mostrar que \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx é convergente, calculando a integral imprópria como limite.
Primeiro calcule a integral própria até um limite finito A>0:
\int_{0}^{A} e^{-x}\,dx.
Uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}, porque \dfrac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}. Então, usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{A} e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{A} = -e^{-A} - (-e^{0}) = 1 - e^{-A}.
Agora tomamos o limite quando A\to+\infty:
\lim_{A\to+\infty} \left(1 - e^{-A}\right).
Sabemos que \lim_{A\to+\infty} e^{-A} = 0 (porque exponencial decai para zero). Portanto
\lim_{A\to+\infty} \left(1 - e^{-A}\right) = 1.
Concluímos que a integral imprópria converge e tem valor \;1.
Comentário didático rápido sobre o que fizemos no Passo 2: para uma integral no intervalo infinito, transformamos em uma família de integrais em intervalos finitos [0,A] e avaliamos o limite quando A cresce. Também usei que uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}, que é uma técnica padrão para integrais de exponencial.

Passo 3

(b) Agora verificamos a desigualdade solicitada:
0 \leq \left|e^{-x}\cdot \operatorname{sen}^{3} x\right| \leq e^{-x}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Justificativa passo a passo:
  • Para todo x, e^{-x}>0. Então \left|e^{-x}\cdot \operatorname{sen}^{3} x\right| = e^{-x}\cdot \left|\operatorname{sen}^{3} x\right|, porque tirar valor absoluto de um produto dá produto dos valores absolutos.
  • Temos \left|\operatorname{sen}^{3} x\right| = \left|\operatorname{sen} x\right|^{3}.
  • E sempre \left|\operatorname{sen} x\right|\leq 1, logo \left|\operatorname{sen} x\right|^{3}\leq 1.
  • Assim \left|e^{-x}\cdot \operatorname{sen}^{3} x\right| = e^{-x}\left|\operatorname{sen} x\right|^{3} \leq e^{-x}\cdot 1 = e^{-x}.
  • Além disso, um valor absoluto nunca é negativo, então 0 \leq \left|e^{-x}\cdot \operatorname{sen}^{3} x\right|.
Portanto a desigualdade está verificada.

Passo 4

(c) Mostrar que \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\operatorname{sen}^{3} x\,dx é convergente.
Estratégia didática: usaremos a desigualdade obtida no Passo 4 e a integral convergente de e^{-x} (Passo 2) para aplicar o teste da comparação (ou seja, mostrar convergência absoluta). Lembra: se \int_{0}^{+\infty} |f(x)|\,dx converge, então \int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx converge também (chamamos isso de convergência absoluta implica convergência).
Passo a passo formal:
  • Defina f(x)=e^{-x}\operatorname{sen}^{3} x. Do Passo 4 temos 0 \leq |f(x)| \leq e^{-x} para todo x\ge 0.
  • Integramos ambos os lados sobre [0,A] (com A>0):
\int_{0}^{A} |f(x)|\,dx \leq \int_{0}^{A} e^{-x}\,dx.
  • Do Passo 2 sabemos que \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1 < +\infty. Portanto, tomando o limite quando A\to+\infty obtemos
\int_{0}^{+\infty} |f(x)|\,dx \leq \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1,
ou seja, \int_{0}^{+\infty} |f(x)|\,dx converge (é finita).
  • Como a integral do valor absoluto converge, a integral original converge absolutamente; em particular, converge.

Passo 5

Comentário didático final e incentivo: resumindo, usamos duas ideias simples e poderosas que aparecem com frequência em provas: (i) calcular integrais impróprias via limites de integrais sobre [0,A] e (ii) usar desigualdade com uma função dominante integrável (teste da comparação) para mostrar convergência absoluta. Dá para aplicar o mesmo raciocínio sempre que você tem um fator exponencial decaindo multiplicando uma função oscilante limitada (como seno, cosseno, potências limitadas etc.). Vai dar certo na prova — você consegue!

Resposta

(a) \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1.
(b) \displaystyle 0 \leq \left|e^{-x}\cdot \operatorname{sen}^{3} x\right| \leq e^{-x} para todo x\in\mathbb{R}.
(c) \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\operatorname{sen}^{3} x\,dx converge (na verdade converge absolutamente).

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