1. Determine:
P^{-1} A P

Passo 1

O enunciado pede que se determine \,P^{-1} A P\,.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma matriz A nem P foi informada.
O que exatamente está sendo pedido (resumido): calcular a matriz produto \,P^{-1} A P\,, isto é, aplicar a transformação de similaridade de A pela matriz P.

Passo 2

Entendendo o que é \,P^{-1} A P\, (sem resolver ainda).
A expressão \,P^{-1} A P\, é a conjugação de A por P; o resultado é uma matriz semelhante a A. Isso significa que \,P^{-1} A P\, representa a mesma transformação linear que A escrita em uma base diferente (as colunas de P determinam a mudança de base). Para que isso faça sentido é obrigatório que P seja invertível.

Passo 3

Condição necessária: verificando se \,P é invertível.
  • A matriz P deve satisfazer \det(P)\neq 0.
  • Para uma matriz 2\times2 \,P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} a verificação é simples: \det(P)=ad-bc.
  • Para tamanhos maiores calcula-se o determinante por expansão ou por eliminação. Se \det(P)=0 então \,P^{-1} não existe e \,P^{-1} A P\, não está definido.]

Passo 4

Como calcular \,P^{-1} na prática (métodos que pode usar na prova).
  • Caso P seja 2\times2, use a fórmula fechada: se \,P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} e \det(P)=ad-bc\neq0, então
P^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explique cada termo: a,b,c,d são as entradas de P; ad-bc é o determinante; o fator 1/(ad-bc) escala a matriz adjunta.
  • Para 3\times3 ou maiores, o procedimento prático é usar eliminação de Gauss-Jordan: formar a matriz aumentada \,[P\mid I], aplicar operações elementares de linha até obter \,[I\mid P^{-1}]. Essas operações trocam linhas, multiplicam linha por escalar não nulo, ou somam múltiplos de linhas entre si — e elas correspondem exatamente aos passos de multiplicar por matrizes elementares, que preservam a solução.]

Passo 5

Como calcular o produto \,P^{-1} A P\, depois de obter P^{-1}.
  • Ordem prática: primeiro calcule B = A P (multiplicação de A pela direita por P), depois calcule P^{-1} B (multiplicação de P^{-1} pela esquerda pelo resultado). Alternativamente calcule C = P^{-1} A e depois C P; o resultado é o mesmo, mas a primeira opção costuma ser numérica mais conveniente.
  • Lembrete prático de multiplicação de matrizes: a entrada (i,j) do produto XY vale
(XY)_{ij}=\sum_{k} X_{ik} Y_{kj},
ou seja, multiplicar linha i de X pela coluna j de Y e somar os produtos. Mostre cada soma passo a passo na prova para evitar erros.

Passo 6

Exemplo completo e detalhado (para aprender fazendo). Seja
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  1. Verificar invertibilidade de P: \det(P)=1\cdot0-1\cdot1=-1\neq0, logo P é invertível.
  2. Calcular P^{-1} por fórmula (é 2\times2):
P^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Expliquei: trocou-se a,d e trocou de sinal em b,c, depois dividiu pelo determinante.
3) Calcular A P:
AP=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot1 & 2\cdot1+1\cdot0\\[4pt] 0\cdot1+3\cdot1 & 0\cdot1+3\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
Mostrei cada produto e soma para cada entrada.
4) Calcular P^{-1}(AP):
P^{-1}(AP)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot3+1\cdot3 & 0\cdot2+1\cdot0\\[4pt] 1\cdot3+(-1)\cdot3 & 1\cdot2+(-1)\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Resultado: \,P^{-1} A P=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}. Observe que, neste exemplo, P diagonalizou A: o similar é uma diagonal com os autovalores (a ordem depende da escolha das colunas de P). Neste passo mostrei nitidamente cada soma e produto para que possa copiar esse estilo na prova.]

Passo 7

Interpretação útil para prova (dicas rápidas e inteligentes).
  • Se as colunas de P forem autovetores de A, então \,P^{-1} A P\, será diagonal (com autovalores na diagonal). Isso é a diagonalização: se A tem n autovetores linearmente independentes, existem P e D tais que \,P^{-1} A P = D (diagonal).
  • Mesmo quando não diagonaliza, P^{-1} A P dá uma forma mais simples de A em outra base (por exemplo, forma de Jordan se escolher P composta por cadeias de Jordan).
  • Sempre verifique invertibilidade de P antes de tentar inverter na prova; mostre o cálculo do determinante e, se usar Gauss-Jordan, mostre as operações de linha.

Passo 8

Conclusão prática para este enunciado específico.
Como o problema não forneceu as matrizes A e P nem outras informações suficientes, não é possível calcular numericamente \,P^{-1} A P\,. Acima eu mostrei detalhadamente o que verificar e os passos a executar (com um exemplo resolvido) para que, ao receber A e P, você consiga fazer a conta passo a passo na prova sem se perder.

Resposta

Não é possível determinar \,P^{-1} A P\, sem as matrizes A e P (ou sem informações suficientes sobre elas).

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