1. Seja
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y-z=0\right\}
Determine:
a) uma base de W
b) a dimensão de W
c) uma base ortonormal de W

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x+2y-z=0\}.
O que é pedido:
a) uma base de W;
b) a dimensão de W;
c) uma base ortonormal de W.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação linear \;x+2y-z=0\; que caracteriza W.
  • Não há outros dados; o subespaço passa pela origem (é um plano em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever os vetores de W em forma paramétrica, resolvendo a equação dada. A equação
x+2y-z=0
pode ser rearranjada para dar x em função de y e z:
x=-2y+z.
Agora parametrizo tomando y e z como parâmetros livres. Seja s=y e t=z. Então um vetor qualquer de W é
(x,y,z)=(-2s+t,\;s,\;t).
Posso separar em combinação linear:
(-2s+t,\;s,\;t)=s(-2,1,0)+t(1,0,1).
Portanto todo vetor de W é combinação linear dos vetores \,v_1=(-2,1,0)\, e \,v_2=(1,0,1)\,. Isso sugere que \{v_1,v_2\} gera W.

Passo 3

Agora preciso verificar se \{v_1,v_2\} é linearmente independente (para ser base). Faço a conta:
se existir \alpha,\beta tais que
\alpha(-2,1,0)+\beta(1,0,1)=(0,0,0),
então olhando coordenada a coordenada:
-2\alpha+\beta=0,\qquad \alpha=0,\qquad \beta=0.
Da segunda equação vem \alpha=0; substituindo na primeira dá \beta=0. Logo só a solução trivial existe, portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes. Conclusão: \{v_1,v_2\} é uma base de W.

Passo 4

A dimensão de W é o número de vetores de qualquer base. Como acabamos de encontrar uma base com dois vetores, temos
\dim W=2.

Passo 5

Agora vamos construir uma base ortonormal de W. Vou usar o processo de Gram–Schmidt aplicado aos vetores v_1 e v_2 com o produto interno padrão em \mathbb{R}^3:
\langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Passos do Gram–Schmidt (explicando a ideia): a ideia é transformar a base \{v_1,v_2\} numa base ortogonal \{u_1,u_2\} e depois normalizar cada vetor para ficar com norma 1. A projeção de w sobre u (quando u\neq 0) é
\operatorname{proj}_u(w)=\frac{\langle w,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.

Passo 6

Aplicando Gram–Schmidt:
  1. Tomo u_1=v_1=(-2,1,0).
Calculo sua norma:
\langle u_1,u_1\rangle = (-2)^2+1^2+0^2=4+1=5,
logo \|u_1\|=\sqrt{5}.
  1. Subtraio de v_2 a projeção de v_2 sobre u_1 para obter u_2:
\langle v_2,u_1\rangle = (1)(-2)+0\cdot1+1\cdot0 = -2,
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1=\frac{-2}{5}(-2,1,0)=\Big(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0\Big).
Então
u_2=v_2-\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\Big(1,0,1\Big)-\Big(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0\Big)=\Big(\frac{1}{5},\frac{2}{5},1\Big).
Observação conveniente: u_2=\dfrac{1}{5}(1,2,5). Portanto vetores u_1 e (1,2,5) são ortogonais (verificável pelo produto interno), e u_2 é um múltiplo de (1,2,5).
Calculo a norma de u_2. Usando u_2=(1/5,2/5,1):
\langle u_2,u_2\rangle = \Big(\frac{1}{5}\Big)^2+\Big(\frac{2}{5}\Big)^2+1^2=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+1=\frac{5}{25}+1=\frac{1}{5}+1=\frac{6}{5}.
Logo
\|u_2\|=\sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}.
Alternativamente, usando o vetor inteiro proporcional w_2=(1,2,5), tem-se \|w_2\|=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30} e u_2=(1/5)w_2, o que conduz ao mesmo resultado.

Passo 7

Normalizo para obter a base ortonormal. Defino
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)
e, usando w_2=(1,2,5),
e_2=\frac{w_2}{\|w_2\|}=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,5).
Verificação rápida (opcional): \langle e_1,e_2\rangle=0 porque \langle u_1,w_2\rangle=0 e cada tem norma 1 por construção, logo \{e_1,e_2\} é ortonormal e gera W.

Resposta

a) Base de W: \{(-2,1,0),\;(1,0,1)\}
b) \dim W=2
c) Base ortonormal de W: \displaystyle\Big\{\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0),\;\frac{1}{\sqrt{30}}(1,2,5)\Big\}

Exercícios relacionados