- Seja
Determine:
a) uma base de
b) a dimensão de
c) uma base ortonormal de
a) uma base de
b) a dimensão de
c) uma base ortonormal de
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
O que é pedido:
a) uma base de ;
b) a dimensão de ;
c) uma base ortonormal de .
a) uma base de
b) a dimensão de
c) uma base ortonormal de
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação linear
que caracteriza . - Não há outros dados; o subespaço passa pela origem (é um plano em
).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever os vetores de
em forma paramétrica, resolvendo a equação dada. A equação
pode ser rearranjada para dar
em função de
e
:
Agora parametrizo tomando
e
como parâmetros livres. Seja
e
. Então um vetor qualquer de
é
Posso separar em combinação linear:
Portanto todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
. Isso sugere que
gera
.
Passo 3
Agora preciso verificar se
é linearmente independente (para ser base). Faço a conta:
se existir tais que
se existir
então olhando coordenada a coordenada:
Da segunda equação vem
; substituindo na primeira dá
. Logo só a solução trivial existe, portanto
e
são linearmente independentes. Conclusão:
é uma base de
.
Passo 4
A dimensão de
é o número de vetores de qualquer base. Como acabamos de encontrar uma base com dois vetores, temos
Passo 5
Agora vamos construir uma base ortonormal de
. Vou usar o processo de Gram–Schmidt aplicado aos vetores
e
com o produto interno padrão em
:
Passos do Gram–Schmidt (explicando a ideia): a ideia é transformar a base
numa base ortogonal
e depois normalizar cada vetor para ficar com norma
. A projeção de
sobre
(quando
) é
Passo 6
Aplicando Gram–Schmidt:
- Tomo
.
Calculo sua norma:
logo
.
- Subtraio de
a projeção de sobre para obter :
Então
Observação conveniente:
. Portanto vetores
e
são ortogonais (verificável pelo produto interno), e
é um múltiplo de
.
Calculo a norma de
. Usando
:
Logo
Alternativamente, usando o vetor inteiro proporcional
, tem-se
e
, o que conduz ao mesmo resultado.
Passo 7
Normalizo para obter a base ortonormal. Defino
e, usando
,
Verificação rápida (opcional):
porque
e cada tem norma
por construção, logo
é ortonormal e gera
.
Resposta
a) Base de
:
b)
c) Base ortonormal de
: