Determine a parte real
e a parte imaginária
das seguintes funções:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a parte real
e a parte imaginária
da função
Informações relevantes dadas e convenções que vamos usar (somente listar):
- A variável complexa
pode ser escrita em coordenadas cartesianas como . - Em coordenadas polares,
pode ser escrita como , com (porque ) e real. - O que se quer: expressar
na forma , ou seja, encontrar explicitamente e .
Passo 2
Vou lembrar duas coisas importantes (pequena revisão rápida, tipo cola didática):
- A relação entre coordenadas cartesianas e polares é
Aqui
e
são as partes real e imaginária de
.
- A fórmula de Euler diz que
Isso permite converter facilmente entre a forma exponencial/polar
e a forma trigonométrica
.
Passo 3
Agora calculemos
usando a forma polar. Se
com
, então
Usando Euler novamente em
obtemos
Portanto
Dessa expressão já vemos as partes real e imaginária isoladas.
Passo 4
Identificando as partes real e imaginária da expressão anterior:
Comentário curto de verificação (opcional, útil na prova): pela forma cartesiana, se
então
Substituindo
e
obtemos
confirmando que
e
acima estão corretos.
Passo 5
Dica prática para a prova: ao ver
prefira escrever
em forma polar
— a reciprocidade só muda o sinal do argumento e inverte o módulo, então
é muito rápido de transformar em
. Lembre-se também de que
porque
.