Determine a parte real u=u(r, \theta) e a parte imaginária v=v(r, \theta) das seguintes funções:
d) w=f(z)=\frac{1}{z}(z \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a parte real u=u(r,\theta) e a parte imaginária v=v(r,\theta) da função
w=f(z)=\frac{1}{z},\qquad z\neq 0.
Informações relevantes dadas e convenções que vamos usar (somente listar):
  • A variável complexa z pode ser escrita em coordenadas cartesianas como z=x+iy.
  • Em coordenadas polares, z pode ser escrita como z=r e^{i\theta}, com r>0 (porque z\neq 0) e \theta real.
  • O que se quer: expressar w=\dfrac{1}{z} na forma w=u(r,\theta)+i\,v(r,\theta), ou seja, encontrar explicitamente u(r,\theta) e v(r,\theta).

Passo 2

Vou lembrar duas coisas importantes (pequena revisão rápida, tipo cola didática):
  • A relação entre coordenadas cartesianas e polares é
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x e y são as partes real e imaginária de z.
  • A fórmula de Euler diz que
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Isso permite converter facilmente entre a forma exponencial/polar r e^{i\theta} e a forma trigonométrica r(\cos\theta+i\sin\theta).

Passo 3

Agora calculemos 1/z usando a forma polar. Se z=r e^{i\theta} com r>0, então
\frac{1}{z}=\frac{1}{r e^{i\theta}}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}.
Usando Euler novamente em e^{-i\theta} obtemos
e^{-i\theta}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta.
Portanto
\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\big(\cos\theta-i\sin\theta\big).
Dessa expressão já vemos as partes real e imaginária isoladas.

Passo 4

Identificando as partes real e imaginária da expressão anterior:
u(r,\theta)=\frac{1}{r}\cos\theta, \qquad v(r,\theta)=-\frac{1}{r}\sin\theta.
Comentário curto de verificação (opcional, útil na prova): pela forma cartesiana, se z=x+iy então
\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtemos
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r\cos\theta}{r^{2}}=\frac{1}{r}\cos\theta, \qquad \frac{y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r\sin\theta}{r^{2}}=\frac{1}{r}\sin\theta,
confirmando que u e v acima estão corretos.

Passo 5

Dica prática para a prova: ao ver \dfrac{1}{z} prefira escrever z em forma polar r e^{i\theta} — a reciprocidade só muda o sinal do argumento e inverte o módulo, então \dfrac{1}{z}=(1/r)e^{-i\theta} é muito rápido de transformar em u+iv. Lembre-se também de que r>0 porque z\neq 0.

Resposta

u(r,\theta)=\dfrac{1}{r}\cos\theta
v(r,\theta)=-\dfrac{1}{r}\sin\theta

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