Determine a parte real
e a parte imaginária
das seguintes funções:
e)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede para determinar a parte real
e a parte imaginária
quando se usa coordenadas polares. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio exclui
, logo . - Devemos expressar
e em termos de e .
Passo 2
Primeiro, escrever
em coordenadas polares:
, onde:
-
é o módulo de , -
é o argumento de (ângulo).
Lembrete útil (fórmula de Euler):
Essa fórmula permite converter entre exponencial complexa e as partes real/imaginar em termos de cosseno e seno.
Passo 3
Calcular
usando a propriedade de potências:
Aqui usei
e
.
Passo 4
Agora inverter para obter
:
válido porque
.
Passo 5
Expandir usando a fórmula de Euler para o ângulo
:
Multiplicando por
obtemos a forma que separa real e imaginária:
Passo 6
Ler as partes real e imaginária da expressão anterior. Assim:
Observações rápidas:
e
estão bem definidas para
. Note também que
e
são periódicas em
com período
porque dependem de
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
,
,
e
. Logo
e
. Vai servir para checar cálculo na prova.