Determine a parte real u=u(r, \theta) e a parte imaginária v=v(r, \theta) das seguintes funções:
e) w=f(z)=\frac{1}{z^{3}}(z \neq 0)

Passo 1

O enunciado dá a função w=f(z)=\dfrac{1}{z^{3}} com z\neq0 e pede para determinar a parte real u=u(r,\theta) e a parte imaginária v=v(r,\theta) quando se usa coordenadas polares. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é w=\dfrac{1}{z^{3}}.
  • O domínio exclui z=0, logo r=|z|>0.
  • Devemos expressar u e v em termos de r e \theta.

Passo 2

Primeiro, escrever z em coordenadas polares: z=r e^{i\theta}, onde:
  • r=|z|>0 é o módulo de z,
  • \theta=\arg(z) é o argumento de z (ângulo).
    Lembrete útil (fórmula de Euler):
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Essa fórmula permite converter entre exponencial complexa e as partes real/imaginar em termos de cosseno e seno.

Passo 3

Calcular z^{3} usando a propriedade de potências:
z^{3}=(r e^{i\theta})^{3}=r^{3}e^{i3\theta}.
Aqui usei (ab)^{3}=a^{3}b^{3} e (e^{i\theta})^{3}=e^{i3\theta}.

Passo 4

Agora inverter para obter 1/z^{3}:
\frac{1}{z^{3}}=\frac{1}{r^{3}e^{i3\theta}}=r^{-3}e^{-i3\theta},
válido porque r>0.

Passo 5

Expandir usando a fórmula de Euler para o ângulo -3\theta:
e^{-i3\theta}=\cos(3\theta)-i\sin(3\theta).
Multiplicando por r^{-3} obtemos a forma que separa real e imaginária:
\frac{1}{z^{3}}=r^{-3}\big(\cos(3\theta)-i\sin(3\theta)\big).

Passo 6

Ler as partes real e imaginária da expressão anterior. Assim:
u(r,\theta)=r^{-3}\cos(3\theta), \qquad v(r,\theta)=-\,r^{-3}\sin(3\theta).
Observações rápidas: u e v estão bem definidas para r>0. Note também que u e v são periódicas em \theta com período \dfrac{2\pi}{3} porque dependem de 3\theta.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: se r=2 e \theta=\dfrac{\pi}{6}, então 3\theta=\dfrac{\pi}{2}, \cos(3\theta)=0, \sin(3\theta)=1 e r^{-3}=\dfrac{1}{8}. Logo u=0 e v=-\dfrac{1}{8}. Vai servir para checar cálculo na prova.

Resposta

u(r,\theta)=r^{-3}\cos(3\theta)
v(r,\theta)=-\,r^{-3}\sin(3\theta)

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