Determine uma pca da ciclóide x= a t-a \operatorname{sen} t, y=a-a \cos t(0<t<2 \pi) com (0,0) como ponto de referência.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização natural (parâmetro curvilíneo de arco) da ciclóide
x = a\,t - a\sin t,\quad y = a - a\cos t,\quad 0<t<2\pi
usando o ponto (0,0) como referência para s=0. Vamos usar a definição de comprimento de arco
s(t) = \int_{0}^{t}\sqrt{\bigl(x'(u)\bigr)^2+\bigl(y'(u)\bigr)^2}\,du.

Passo 2

Calculamos as derivadas \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}:
\frac{dx}{dt} = a\bigl(1-\cos t\bigr),\qquad \frac{dy}{dt} = a\sin t.
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\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2 = a^2\bigl((1-\cos t)^2+\sin^2 t\bigr) =4a^2\sin^2\frac{t}{2},
e portanto
\frac{ds}{dt} = 2a\sin\frac{t}{2}.

Passo 3

Integramos de 0 a t para obter s(t):
s(t)=\int_{0}^{t}2a\sin\frac{u}{2}\,du =-4a\Bigl[\cos\frac{u}{2}\Bigr]_{0}^{t} =4a\Bigl(1-\cos\frac{t}{2}\Bigr).

Passo 4

Invertendo a relação s=4a\bigl(1-\cos\frac{t}{2}\bigr) obtemos
\cos\frac{t}{2}=1-\frac{s}{4a} \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{2}=\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4a}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad t(s)=2\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4a}\Bigr).

Passo 5

Substituímos t(s) em x(t) e y(t). Usando \sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2} com \sin\frac{t}{2}=\sqrt{1-(1-\frac{s}{4a})^2}, chega-se a
x(s) =2a\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4a}\Bigr) -\frac{4a-s}{8a}\,\sqrt{s(8a-s)},
y(s) =2a\Bigl[1-\bigl(1-\tfrac{s}{4a}\bigr)^2\Bigr] =s-\frac{s^2}{8a}.

Resposta

Uma parametrização pelo comprimento de arco é
r(s)=\bigl(x(s),y(s)\bigr),\quad 0\le s\le 8a,
onde
x(s) =2a\operatorname{arccos}\!\Bigl(1-\frac{s}{4a}\Bigr) -\frac{4a-s}{8a}\,\sqrt{s(8a-s)}, \qquad y(s) =s-\frac{s^2}{8a}.

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