Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=5+2 \cos 3 x

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico da função
f(x)=5+2\cos(3x).
O conteúdo aqui é análise de funções trigonométricas do tipo \displaystyle A\cos(Bx)+D: precisamos usar a fórmula do período, entender amplitude e deslocamento vertical, e depois marcar pontos-chave para desenhar a onda.

Passo 2

Para uma função \cos(Bx), o período T é dado por
T=\frac{2\pi}{B}.
No nosso caso B=3, logo
T=\frac{2\pi}{3}.

Passo 3

A amplitude é \lvert A\rvert=2 e o deslocamento vertical (eixo médio) é D=5. Portanto o valor de f(x) varia entre
5-2=3 \quad\text{e}\quad 5+2=7.

Passo 4

Vamos obter os pontos principais em um período, digamos de x=0 até x=2\pi/3:
\begin{aligned} f(0)&=5+2\cos(0)=5+2\cdot1=7,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)&=5+2\cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr)=5+2\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=5+0=5,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)&=5+2\cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr)=5+2\cos(\pi)=5-2=3,\\\ f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=5+2\cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=5+2\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=5+0=5,\\\ f\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)&=5+2\cos\bigl(3\cdot\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=5+2\cos(2\pi)=5+2=7. \end{aligned}
Traçando uma curva suave que passa por esses pontos temos uma onda senoidal com eixo médio em y=5, variando de 3 a 7 e repetindo a cada 2\pi/3.

Resposta

Período: \displaystyle \frac{2\pi}{3}.
Gráfico: é uma cossenoide de amplitude 2, eixo médio em y=5, que em um período 0\le x\le \tfrac{2\pi}{3} atinge os pontos (0,7), \bigl(\tfrac{\pi}{6},5\bigr), \bigl(\tfrac{\pi}{3},3\bigr), \bigl(\tfrac{\pi}{2},5\bigr), \bigl(\tfrac{2\pi}{3},7\bigr),
e então se repete.

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